Давайте-ка разберемся, как "выглядят" криволинейные координаты с точки зрения физики, и почему мы ими пользуемся, и зачем, и можно ли не, и почему нельзя.
Бывают такие "декартовы" координаты: три перпендикулярные прямые, или четыре, если речь о четырехмерном пространстве-времени. Но никто не мешает пользоваться криволинейными системами координат. Пример: сферические.
Мы можем в обычном трехмерном пространстве использовать сферические координаты: иногда это удобно, иногда странно (но допустимо). А вот для задач, связанных с Землей, использование таких координат необходимо: декартовых на сфере просто нет.
Но тут надо помнить три важные вещи. Во-первых, криволинейные координаты локальны: вы можете нарисовать три (или четыре) координатных направления в окрестности точки, но окрестность может быть маленькая. Это понятно, потому что координатная линия, как правило, кривая. Пример: параллели и меридианы на сфере: в сферических координатах линия "r=const, широта=const" есть окружность.
Более того, направление "вниз" на Земле в разных местах разное, вплоть до противоположности; направление на север тоже разное, и есть точка, где все направления на север, и есть другая, где на север вообще нет направления.
И даже еще более того: вы можете ввести координаты, указывая направление (по румбу компаса) и расстояние в километрах от Рима, и это будет неплохо работать в некоторой окрестности Рима, да. Но потом выяснится, что 10 тыс км от Рима в одну сторону есть то же самое, что 30 тыс в другую; а 20 тыс в любую сторону есть одно и то же; а 40 тыс в любую сторону от Рима - это и есть сам Рим...
Это была первая важная вещь: локальность криволинейных координат. Теперь вторая: в криволинейных координатах линейные уравнения описывают кривые линии, прямые линии имеют нелинейные уравнения. Например, запишите уравнение прямой y=2x+3 в полярных координатах. Или, обозначив полярные координаты y и x, нарисуйте линию y=2x+3.
Теперь третья важная особенность криволинейных координат: там иначе работает теорема Пифагора. Точнее, теорема-то верна, но ее вид меняется. Длина отрезка, соединяющего две точки, выражается через координаты точек не так, как в декартовых координатах.
Это очень просто понять на примере Земли. Длина градуса разная, вообще говоря, в разных местах. И треугольник, пусть маленький, катеты которого равны в градусной мере, может иметь очень разную площадь в зависимости от того, где мы его поместили. И гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами по одному градусу очень разная на экваторе и в наших местах. У нас процентов на 20 меньше. А площадь так вообще вдвое.
А для больших треугольников теорема Пифагора в обычном виде вообще может не работать. Например, треугольник с вершиной на полюсе и двумя на экваторе может иметь три прямых угла и все его стороны просто равны друг другу. Глобальную теорему Пифагора на сфере можно получить, но она совсем не похожа: cos(A)cos(B)=cos(C), где радиус сферы принят за единицу длины.
Так появляется метрика: коэффициенты в (локальной!) формуле Пифагора:
dL²=X²(x,y)dx²+Y²(x,y)dy².
Могут возникать ещё перекрестные члены вроде dxdy, если координаты ещё и не ортогональные, то есть оси не перпендикулярны. Но это другая история...
Теперь возьмем искривленное пространство, например, нашу Землю. На ней использование криволинейных координат уже не вопрос прихоти, удобства или формализма, а необходимость: прямых-то нет. Мы вынуждены работать в криволинейных координатах, локально, и использовать метрику для вычисления расстояний, углов, площадей и т.п.
Теперь как всё это выглядит с точки зрения физики? Декартовы координаты в пространстве-времени соответствуют инерциальным системам отсчета. Все они сводятся друг к другу особыми поворотами и сдвигами начала отсчета.
Криволинейные координаты соответствуют ускоренным системам отсчета. Там возникает метрика, на основе которой можно вычислить некоторую тензорную величину "тензор кривизны" и другую тензорную величину, и назвать ее гравитацией.
Пока это просто издержки выбора кривых координат.
Например, при вращении шара наблюдатель вправе формально считать себя неподвижным: это и означает переход в его систему отсчета. Если его координата x зависит от времени как x(t), то мы вводим новую координату q по правилу x=q+x(t). Сам наблюдатель тогда сидит в начале отсчета: q=0. Ну, а все уравнения становятся нелинейными: это и есть нелинейные, криволинейные координаты. Шар испытывает растяжение, которое в системе отсчета самого шара объясняется гравитацией. Формальной координатной гравитацией.
Это ровно то же самое, как объяснять ускорение Кориолиса морских вод или падение с полки поезда при торможении действием некоторой силы. Можно, только в других координатах сила вдруг пропадает.
Всё, что делает ОТО, это декларирует, что реальное гравитационное поле, создаваемое массами (например), и есть такая кривизна пространства-времени, так что у нас нет выбора, кроме как работать в криволинейных координатах, локально, и с метрикой. Распределение масс определяет метрику, а она - всю геометрию, в том числе и "прямые" линии.
По сути, Эйнштейн декларировал кривизну пространства-времени так же, как кто-то когда-то декларировал кривизну Земли. Да, неочевидно, но что такого?
В особых координатах, свободно падающей системе отсчета, гравитационное поле можно "устранить". Локально, конечно, то есть в достаточно малой окрестности точки (читай "в достаточно малой банке и не выглядывая наружу") и в течение достаточно малого интервала времени.
Последнее немаловажно: мы все знаем, что падать долго не получается. И не надо: инерциальная система отсчета в ОТО падает один миг всего. И сама маленькая. Почему локальность принципиальна, я уже объяснил.
Метрика означает, что расстояния и промежутки времени по-разному измеряются в разных точках и в разные моменты времени.
Локальность означает, что у нас нет прямого способа синхронизировать часы или сравнить линейки в разных местах. Надо оговаривать процедуру синхронизации, а в ряде случаев это вообще невозможно.
Отсутствие прямых линий означает невозможность движения без ускорения. В самом деле, двигаться по прямой в трехмерном пространстве в присутствии тяготения либо вообще не получится, либо нужно очень точно манипулировать рулями и тягой двигателей.
Продолжим исследовать вопрос в следующих заметках!
