Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу с Вами поговорить об одном из самых удивительных, контринтуитивных и парадоксальных математических суждений, которые Вы вообще повстречаете в своей жизни.
Несмотря на простоту формулировки (для её понимания требуется только уметь производить простейшие арифметические операции), эта теорема имеет просто фундаментальное не только математическое, но и философское значение. Итак, поехали!
Как обычно, начинаем играться с числами. Известно, что любое число можно представить как сумму степеней с основанием 2. Например:
Начинать формулировку теорему Гудстейна мы будем именно так за одним исключением: мы будем писать вместо 2^0 просто число 1.
Рассмотрим последовательность Гудстейна, сформированную по следующим правилам:
- Представляем число в виде, показанном на верхнем рисунке.
- Увеличиваем основание степени на (1) и вычитаем из полученного числа 1
Например, как это будет выглядеть, если мы начнем с числа 3:
- Первая строчка: представили по "основанию 2" ( в кавычках, потому что не пишем 2^0)
- Вторая строчка: заменили основание степени на 3, и вычли единицу.
- Третья строчка: заменили основание на 4 и вычли единицу. Теперь мы получили минус, от которого должны избавиться. В этот момент нужно бы уменьшить показатель степени, чтобы представить итоговое число как сумму, но это нельзя делать, т.к. мы условились не употреблять нулевые степени. Поэтому просто вычитаем 1.
- Четвертая-пятая-шестая строчка: вычитаем единицы и получаем 0.
Да, последовательность пришла к 0, если начинать с числа 3. А что там дальше? А дальше начинается вакханалия:
Казалось бы, мы увеличиваем основание степени, но всё равно приходит какой-то момент, когда появляется "крохотная единичка" со знаком минус, которая перетягивает чашу весов и возвращает последовательность Гудстейна в ноль даже на таком чудовищно большом шаге. Ну а теперь, собственно, теорема:
Любая последовательность Гудстейна достигает нуля
Это действительно трудно осознать, что такие гигантские числа все равно вернутся к нулю.
Например, Роджер Пенроуз в своей книге приводит в качестве примера последовательность от числа 581! Конечно, как пример - вычислить "поход" этого числа к нулю вряд ли возможно.
Но что уж там говорить, например последовательность для числа 19 начинается таким образом:
Доказательство и опровержение теоремы Гудстейна в рамках элементарной арифметики Пеано просто невозможно: для этого надо использовать методы арифметики второго порядка, а именно опираться на последовательности ординальных чисел.
Многие математики называют теорему Гудстейна конкретным примером "геделевого предложения" - формальной конструкции опровергнуть или доказать истинность которой формальная арифметика не в состоянии.
Напомню, что ординальные числа составляют множество, наименьший элемент которого больше любого целого числа (эх, знать бы это в детстве, выигрывал бы все споры). Наименьший ординал обозначается как ω, потом идет:
Замечательно то, что любое множество ординалов является вполне-упорядоченным (лучше всего это понятие расписано у Ф.Хаусдорфа в оригинале), т.е всегда имеет наименьший элемент. Это позволяет утверждать, что не существует бесконечной последовательности уменьшающихся ординальных чисел.
Это и будет ключом к наглядному доказательству: сопоставим каждому основанию степени, участвующей в последовательности Гудстейна, наименьший ординал ω:
Что же мы получили? Слева - возрастающая последовательность натуральных чисел, справа - уменьшающаяся последовательность ординалов, которая не может уменьшаться бесконечно, следовательно она является конечной , а следовательно левый столбец всегда придет к нулю!
В какой-то момент ординалы уменьшатся настолько, что "перестанут" быть ординалами и станут обычными кардинальными числами, которые придут к нулю последовательными вычитаниями единицы
И да, то, что мы сейчас рассматривали - это всего лишь "слабая" версия последовательности Гудстейна. В полной версии на каждом шаге увеличивается не только основание, но и показатель степени. Тем не менее, результат тот же - тлен, безысходность, пустота, ничто, ноль....
- А какие впечатления у Вас оставила теорема Гудстейна? Пишите в комментариях!
