Леонард Эйлер - швейцарский, прусский и российский ученый и механик, величайший математик, автор более чем 850 работ, ученый изучавший математику, астрономию, физику, механику, ботаник, медицину и даже теорию музыки.
Работы Эйлера внесли немалый вклад в различные области математики, но именно работы, посвящённые комбинаторике позволяют лучше оценить как разносторонность его дарования, так и склонность к использованию аналитических методов.
Исследования Леонард Эйлера в комбинаторике :
- Теория графов
Одна из наиболее известных комбинаторных работ - статья с решением задач о мостах города Кёнигсберг. Эйлер в своей работе предложил строгое, изящное и в конечном счете аналитическое решение, основанное на правильнойп ереформулировке задачи о мостах.
- Магические и латинские квадраты
Две работы Леонарда Эйлера, посвященные магическим и латинским квадратам, заложили основы нового направления комбинаторики – теории латинских квадратов. На примерах квадратов размеров 3 × 3, 4 × 4, 5 × 5 Эйлер
показал, что условие равенства диагональных сумм суммам по строкам и столбцам при такой конструкции записывается в виде линейных уравнений, выполнение которых можно обеспечить за счет переобозначения элементов.
- Теорема о пятиугольных числах
Цикл исследований, находящийся на стыке комбинаторики, теории чисел и математического анализа и посвященный свойствам пятиугольных чисел. Так называемые многоугольные числа определяются как элементы последовательностей
натуральных чисел, образованных количествами “целых” точек,
содержащихся в гомотетичных многоугольниках с целочисленными длинами сторон.
В каждой из своих теорий Эйлер разработал множество различных сложных формул, используемых наукой по сегодняшний день, однако основной заслугой
Эйлера перед комбинаторикой следует считать не столько введение новых понятий и решение конкретных задач, сколько разработку методов использования степенных рядов и производящих функций для получения точных и асимптотических формул.
Немаловажно и то, что с XVIII века значительная часть математики преподаётся «по Эйлеру» почти без изменений, по причине того, что Леонард Эйлер впервые связал анализ, алгебру, геометрию, тригонометрию, теорию чисел и другие дисциплины в единую систему, при том добавив немало собственных открытий.
