В старину многие арифметические действия были сложными и громоздкими, требовали много времени и места. Поэтому такие вычисления требовали проверки. Кроме того, вычисления производились не на бумаге, а на счётной доске, посыпанной песком или пылью.
Каждое промежуточное вычисление «стиралось» песком, чтобы освободить место для следующего действия. В самом конце на доске оставались только данные числа и результат вычисления. Вот поэтому приходилось применять различные приёмы проверки, и проверка считалась последним этапом решения.
В прошлой статье в рубрике #хакнем_математика я рассказала об уникальных свойствах числа 9. А сегодня, как и обещала, расскажу о старинном способе проверки вычислений.
Этим способом является «способ девятки». Он описывается у индийских математиков уже в X веке, а позднее у европейских математиков (Леонардо Фибоначчи). Ну а я "подсмотрела" его у Якова Перельмана в его "Занимательной арифметике".
У девятки есть такое уникальное свойство: остаток от деления любого числа на 9, всегда равен остатку от деления на 9 суммы цифр этого числа.
Пример 1
1. при делении числа 1893 на 9 получается 210 и остаток 3 (1893 : 9 = 210 и остаток 3);
2. находим сумму цифр числа 1893 и разделим её тоже на 9:
1 + 8 + 9 +3 = 21, 21 : 9 = 2 и остаток 3.
Как видим из пунктов (1) и (2) остатки и в том, и в другом случае равны 3.
Проверка девяткой основана на «правиле остатков»: остаток от деления суммы на какое-либо число равен сумме остатков от деления каждого слагаемого на то же число. Точно так же остаток произведения равен произведению остатков множителей.
ПРОВЕРКА СЛОЖЕНИЯ
Пример 2
Необходимо проверить правильность сложения: 23 + 85 + 115 = 223.
Сопоставив два этих свойства, приходим к приёму проверки девяткой, т.е. делением на 9. Посмотрим на примере, в чём он состоит.
Пример 3
Пусть мы сложили числа:
37 956 + 1 097 + 45 987 + 57 934 = 142 974,
проверим правильность сложения. Запишем в столбик слагаемые и сумму чисел, а рядом с каждым числом в столбик запишем сумму его цифр. Если она получается в виде двузначного числа, складываем снова цифры, чтобы получилось однозначное.
Таким образом, складываем остатки: 3 + 8 + 6 + 1 = 18, 1 + 8 = 9.
Итак, 9 = 9. Следовательно, сложение выполнено верно. Вот так работает способ девятки!
ПРОВЕРКА ВЫЧИТАНИЯ
Этот способ можно применять и для проверки вычитания: выполняется точно также, если уменьшаемое принимается за сумму, а вычитаемое и разность — за слагаемые (Почему так? Вспомните, как найти уменьшаемое).
Пример 4
7431 – 3493 = 3938
5 + 1 = 6. Вычитание выполнено верно.
ПРОВЕРКА УМНОЖЕНИЯ
Этот способ очень хорошо работает при проверке умножения.
Пример 5
8762 × 524 = 4 591 288
5 × 2 = 10, 1 + 0 = 1
Аналогично, хоть и сложнее, применяется этот способ девятки и для проверки деления.
Вот такой способ проверки выполнения действий знали наши предки. Лично для меня бесспорно, "Математика — царица наук, арифметика —царица математики" (К.Ф. Гаусс).
Надеюсь, Вам было интересно!
Читайте наш канал в телеграм — по этой ссылке
Автор: #ирина_чудневцева главный редактор и соавтор канала Хакнем Школа, 43 года, город Ярославль