Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу заняться с Вами исключительной математикой. Итак, давайте начнем с того, что зададим себе вопрос:
"А что, собственно, изучает математика (математические направления)?
Самым формальным ответом на вопрос будет следующее утверждение:
Математика - это наука об отношениях между объектами
Первая ассоциация, когда встречаешь это определение, связана с теорией множеств и наводит на мысль, что именно она - идейный и языковой фундамент современной математики, ведь:
"Множество - это единое имя для совокупности всех объектов, обладающих заданным свойством" - так говорил Георг Кантор.
И действительно, долгие годы теория множеств была основой для большинства математических направлений (общей топологии, алгебры, функционального анализа и т.д.). Основной её концепцией является "отношение принадлежности" :
- Тот факт, что объект a является элементом множества A, словесно выражается так: элемент a принадлежит множеству A. Обозначение: a∈A. Отрицание этого факта выражается другим отношением: элемент a не принадлежит множеству A. Обозначение: a∉A.
Возможность построения математики именно на основе теории множеств Давид Гильберт охарактеризовал как «рай для математиков», а уже построенную на этой основе часть математики называл «симфонией бесконечного».
Однако, в первой половине ХХ века основанная на этом подходе математика перенесла глубочайший кризис: оказалось, что даже в обычной школьной арифметике заложена неустранимая противоречивость (теоремы Гёделя о неполноте).
Тогда-то на сцену и вышли адепты нового направления математики, которые решили рассматривать в первую очередь не статичные отношения принадлежности, но динамические связи между объектами. Забегая вперед, у них это получилось.
Не теория множеств, но теория категорий
В борьбе за звание фундамента математики в 40-х годах ХХ века появилось новое направление - теория категорий, основы которой разработали американские математики Сандерс Маклейн и Самуэль Эйленберг.
Оказалось, что для описания ВСЕХ направлений математики (с известной долей упрощения, конечно), достаточно всего лишь "трех ингредиентов":
- Класса, элементы которого называются объектами категории;
- Морфизмов (или "стрелок" в некоторой литературе) между упорядоченными парами объектов категории - по сути некоего закона "преобразования" одного объекта ("начало") в другой ("конец");
- Закона композиции, удовлетворяющего свойству ассоциативности (произвольного расстановки скобок между морфизмами) и наличия для каждого объекта локальной единицы - тождественного морфизма, начало и конец которого - один и тот же объект категории.
"Зоопарк" разнообразных категорий (их принято обозначать жирными английскими буквами) определяется различными типами объектов и морфизмов, например:
- Категория SET - её объекты - это любые множества; морфизмы - это, например, сюръективные, инъективные и биективные отображения. Различные подкатегории - категории конечных, бесконечных, упорядоченных и т.д. множеств.
А еще есть категория групп - GR, категория колец - RIN, топологических пространств - TOP, LIN - линейных пространств и еще много-много чего, покрывающего всё, что так или иначе изучает математика. По сути, теория категорий - это универсальный инструмент или критерий классификации системы математических знаний. Изучают её обычно только на 3-4 курсе математических специальностей либо как отдельную дисциплину, либо в курсе функционального анализа.
К слову, я не упоминал про переходы МЕЖДУ категориями. Для этого в теории категорий используется понятие "функтора", но это уже совсем другая история...
Если Вас заинтересовала данная тематика, прошу поддержать статью лайком, а канал - подпиской. Спасибо за внимание!
