Уже завтра стартует Гран-При США, но мы продолжаем математически рассчитывать чемпиона 2021 года. В прошлые разы мы рассчитали основные математические показатели, теперь же нам нужно это применить на практику. Сегодня мы добавим ещё несколько факторов влияний на вероятности и сможем наконец узнать, сколько каждый из пилотов будет зарабатывать очков в среднем в гонке.
Дисклеймер: данная статья является авторской художественной интерпретацией информации, доступной в открытых источниках. Вы можете иметь своё мнение по поводу данных вещей и это - нормально.
Если вам интересна данная тема, то подписывайтесь на канал и ставьте лайк, так Дзен понимает, что данные темы интересны вам и станет больше вам их предлагать
Распределение
Самая большая проблема в том, что мы практически не знаем с какой вероятностью определённый пилот займёт конкретную позицию. Это всё из-за того, что показатели мы высчитывали исходя из табличных значений, а эти значения, по своей природе, дискретны (то есть, являются отдельными величинами). Нам же нужно узнать вероятность на некотором отрезке позиций (от первой до двадцатой). Математически, нам нужно из дискретных вероятностей перейти к непрерывным. Для этого нам требуются графики и формулы распределений.
Для представления вероятностей мы будем использовать нормальное распределение. Причина довольно проста: пилоты довольно часто занимают позицию около тех мест, которые можно расписать через среднее арифметическое и при этом – чем сильнее занятая пилотом позиция различается с средней позицией, тем реже ей пилот занимает. Данное поведение соответствует нормальному распределению.
Формула нормального распределения такая:
- P(x) – вероятность значения x
- x – значение
- Mx – математическое ожидание
- σ – среднее квадратичное отклонение
- σ2 – дисперсия
По ней мы можем узнать кто на каком месте с какой вероятностью может оказаться. Но есть ещё несколько нюансов, которые требуется уладить. Один из них – вероятность того, что пилот окажется на одно из этих мест – не 100%.
То есть, как известно из теории вероятностей: “сумма вероятностей всех возможных событий, несвязанных между собой равна единице”. А у нас – чем ближе среднее значение к одному из крайних значений (к первому или последнему месту), тем меньше сумма этих вероятностей и всегда эта сумма меньше 1. Значит, следует ввести коэффициент, который будет выравнивать эти суммы. Тогда формула для приведённой вероятности будет выглядеть следующим образом:
Тогда, после подсчёта данных вероятностей, мы имеем следующую таблицу и график распределений:
Однако, на результат влияют не только итоговые позиции, но и количество финишей впринципе. Ведь у нас практически нет пилотов, которые бы с вероятностью в 100 процентов доезжали до финиша. А значит, в будущем стоит рассмотреть возможность добавления в эти вероятности фактор схода пилотов. Однако, сейчас мы рассмотрим ещё один фактор, который даёт дополнительные очки пилотам. Это – быстрые круги.
Очковое распределение
В этом году лишь несколько пилотов смогли показать быстрые круги. Нам важно лишь то, сколько очков за быстрые круги выдавалось в этом сезоне и сколько раз быстрый круг устанавливал каждый из пилотов, требуемых для обзора. Всего (на 21.10) был выдан приз за быстрый круг пятнадцать раз из них:
- По 4 раза – Хэмилтону и Ферстаппену (то есть вероятность получения быстрого круга около 0.267)
- 3 раза – Вальтери Боттасу (вероятность – 0.2)
- По 1 разу Серхио Пересу и Ландо Норрису (вероятность – 0.67).
Далее, в Формуле-1 можно получить такие количества очков за одну гонку:
- 26 – первое место + быстрый круг
- 25 – первое место без быстрого круга
- 19 – второе место + быстрый круг
- 18 – второе место без быстрого круга
- 16 – третье место + быстрый круг
- 15 – третье место без быстрого круга
- 13 – четвёртое место + быстрый круг
- 12 – четвёртое место без быстрого круга
- 11 – пятое место + быстрый круг
- 10 – пятое место без быстрого круга
- 9 – шестое место + быстрый круг
- 8 – шестое место без быстрого круга
- 7 – седьмое место + быстрый круг
- 6 – седьмое место без быстрого круга
- 5 – восьмое место + быстрый круг
- 4 – восьмое место без быстрого круга
- 3 – девятое место + быстрый круг
- 2 – девятое место без быстрого круга или десятое место + быстрый круг
- 1 – десятое место без быстрого круга
- 0 – любое место ниже 10 или сход.
Значит, чтобы пилот заработал 26 очков он должен занять первое и поставить лучший круг. Логическое и в математике является фактически умножением вероятностей. То есть, если мы возьмём условного Хэмилтона, чья вероятность занять первое место = 0.116, а вероятность поставить лучший круг = 0.267, то вероятность заработать 26 очков будет = 0.116 * 0.267 = 0.031.
Аналогично считаются вероятности для результатов без лучшего круга, тогда расчёты будут выглядеть так: 0.116 * (1-0.267) = 0.085, ведь вероятность того, что пилот не ставит лучший круг равен общей вероятности, то есть единице, из которой вычитают вероятность поставить лучший круг.
Таким образом, мы подсчитываем вероятности для всех возможных результатов, кроме приездов без очков. Почему? Потому что у нас есть не учтённый фактор схода. Но, мы его не будем использовать в чистом виде, ведь вероятность того, что пилот не наберёт очков, это разность между единицей и суммой вероятностей заработанных очков пилота, помноженный на вероятность финиширования пилота.
Что это за вероятность? Если пилот в 15 гонках доезжает до финиша в 12 из них, то вероятность того, что он доедет до финиша 0.8.
Так что, после всех преобразований, график вероятности заработка определённого количества очков у Ферстаппена выглядит так:
И вот так у Хэмилтона:
У обоих этих графиков можно видеть большие скачки между соседними значениями. Однако это объясняется тем, что нечётные очки получаются в основном именно за счёт того, что пилоты ставят быстрый круг, а это – менее вероятное событие чем присутствие поставленного лучшего круга у этого пилота.
Также, мы видим крупные скачки в районе 0 очков. Это как раз и есть влияние тех самых сходов, которые мы должны были учесть. У Льюиса их было в три раза меньше чем у Макса, однако сам шанс того, Ферстаппен финиширует ниже 10 строчки очень мал, из-за чего разница вероятностей примерно в два раза в пользу Макса (0.19 на 0.09).
Остальные пять пилоты будут расположены ниже и их вероятности распределяются таким образом:
Подытог
Сегодня мы с вами сделали финальные приготовления для получения данных по тому, кто же всё-таки станет чемпионом. Мы смогли найти вероятности получения каждого количества очков в каждой гонке для каждого пилота, а это значит что мы можем найти среднее количество очков которое скорее всего наберёт каждый из пилотов, а также найдём вероятности чемпионства для каждого пилота.
Если вам понравилась данная статья, то подписывайтесь на канал, ставьте лайки и оставляйте комментарии на тему: “Кто с большей вероятностью выиграет чемпионат 2021 года?” Советую также перейти на наш канал, дабы ознакомиться с другими статьями, которые возможно вас заинтересуют
#f1 #formula 1 #формула 1 #формула-1 #спорт #макс ферстаппен #льюис хэмилтон #red bull #mercedes
