Для школьников.
Любое тело подвешенное так, что его центр масс находится ниже точки подвеса, называют физическим маятником.
Маятник находится в состоянии устойчивого равновесия, если его центр масс расположен на вертикали под точкой подвеса.
Если маятник вывести из состояния равновесия, отклонив его на некоторый угол и предоставив самому себе, то он начнёт колебаться около положения равновесия.
Чтобы описать колебание маятника, надо знать уравнение его движения, то есть зависимость координаты от времени, и период его колебаний.
Но найти период колебаний физического маятника сложно, так как он зависит от многих причин - от формы и размера маятника, от распределения массы тела, расстояния от точки подвеса до центра масс тела.
Много проще описать поведение математического маятника. Для этого физический маятник заменяют математическим маятником такой длины, чтобы частоты колебаний этих маятников были одинаковы.
Длина математического маятника, частота колебаний которого равна частоте колебаний данного физического маятника, называется приведённой длиной физического маятника.
Под математическим маятником понимается тело малого размера, подвешенного на длинной нерастяжимой нити. Нить считаем невесомой, а тело можно принять за материальную точку.
Наблюдения за колебаниями маятников, подобных математическому, позволили установить следующие законы:
1) Период колебаний математического маятника не зависит от массы тела;
2) Период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний (при малых амплитудах).
Впервые второй закон был установлен Галилеем в 1655 году, при наблюдении им в соборе качания паникадила на длинной цепи, которое толкнули при зажигании. Его колебания постепенно затухали, но период колебаний оставался прежним. Для измерения периода колебаний Галилей пользовался своим пульсом.
Посмотрим теперь, как получили формулу, по которой можно найти период колебаний математического маятника.
На рис а) показан математический маятник, отклонённый от положения равновесия (от точки А) на малый угол (в точку В).
Буквой Р обозначена сила тяжести груза, а буквой Р (с индексом 1) обозначена переменная возвращающая сила, действующая на груз.
Так как возвращающая сила меняется в процессе колебания, то рассчитать движение колеблющегося тела сложно.
Для упрощения расчётов заставляют маятник колебаться не в одной плоскости, как показано на рис.а), а описывать конус (рис. б), чтобы грузик двигался по окружности.
Движение маятника по конусу может рассматриваться как сложение двух независимых колебаний (в плоскости рисунка и в перпендикулярной рисунку плоскости).
Период этих колебаний одинаков. Тогда период обращения маятника можно выразить через отношение длины окружности к скорости движения
При малом угле отклонения маятника (малой амплитуде) можно считать, что возвращающая сила направлена к центру окружности (является центростремительной, равной произведению массы тела на центростремительное или нормальное ускорение), то есть
С другой стороны, из подобия треугольников ОВС и ДВЕ можно записать, что
Приравняв правые части последних выражений, получим уравнение для скорости обращения груза
Подставив скорость в выражение периода, получим искомую формулу для нахождения периода гармонических колебаний математического маятника
Таким образом, период колебаний математического маятника зависит только от ускорения свободного падения и от длины маятника (расстояния от точки подвеса до центра масс груза), и не зависит от его массы и амплитуды (при малых значениях амплитуд), то есть теоретические расчёты подтверждают установленные путём наблюдений первый и второй законы, записанные выше.
К тому же полученная формула
позволила установить количественную зависимость между периодом колебаний маятника, его длиной и ускорением свободного падения g
На практике эту формулу можно использовать для точного нахождения ускорения свободного падения g в разных точках земной поверхности, где g имеет разные значения из-за неравномерной плотности земной коры.
Задачи.
Зададим себе вопросы:
Вопрос: Изменится ли период колебания качелей, если на доску положить груз?
Ответ: Качели могут рассматриваться как математический маятник, а период колебаний математического маятника не зависит от его массы. Значит, если во время колебаний качели на её доску положить груз, то период колебаний качели не изменится.
Вопрос: Как объяснить раскачивание изображённых на рисунке качелей?
Ответ: Качели раскачиваются, так как человек периодически приседает и выпрямляет ноги, изменяя этим центр масс качелей (колебательной системы). Период колебаний качелей меняется и поддерживается за счёт совершённой людьми на качелях работы.
Выше говорилось о колебаниях математического маятника в инерциальной системе отсчёта.
Если маятник колеблется в неинерциальной системе отсчёта, то
Задача.
Итак, мы рассмотрели, как было получено выражение для периода колебаний математического маятника в инерциальных системах отсчёта. В неинерциальных системах отсчёта для расчёта периода колебаний математического маятника кроме ускорения свободного падения надо учитывать ещё ускорение, входящее в выражение силы инерции.
К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Пишите комментарии. Спасибо.
Предыдущая запись: Решение задач на тему: "Гармонические колебания".
Следующая запись: Упругие колебания. Крутильные колебания.
Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1 .
Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45 .
Ссылки на занятия (статьи), начиная с теплового действия тока, даны в конце Занятия 58.
Ссылки на занятия, начиная с переменного тока, даны в конце Занятия 70
