В наше время у школьников участилось мнение, что математика никому не нужная наука. Все считают, что изучать ее нет смысла, так как она ограничена листом бумаги. У учеников средней и старшей школы нету стимула изучать этот предмет. Поэтому я решил посвятить данную статью одной из тем математики - функции. А если быть точнее, то я покажу функции в нашей повседневной жизни, чтоб показать их значимость в современном мире.
Чтобы разобраться в этой теме подробнее, составим план статьи:
1) История функций ( куда же без неё, нужно знать врага в лицо)
2) Определение функций ( для изучения какой либо темы нужно понимать и значение )
3) Виды функций
4) Способы задания
5) Сами примеры
Ну что ж, поехали...
ИСТОРИЯ
Графическое изображение зависимостей широко использовали Г. Галилей и Р. Декарт, который ввел понятие «переменной величины». По определению Декарта: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
Следующий шаг в развитии понятия функции сделал Леонард Эйлер. Он писал: “Величины, зависящие от других так, что с изменениями вторых изменяются и первые, принято называть их функциями”. Понятие было сформулировано Лораном Шварцем.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу единственное число y, зависящее от x. Принято называть x независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или значением функции.
Записывают указанное соотношение между x и у в общем виде так: у = f (x) или у = F (x) и т. п.
График функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты (х, у) которых удовлетворяют соотношению y = f(x).
ВИДЫ
Существует всего четыре вида функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические. Отталкиваясь от видов, можно найти примеры функций, увидеть, как они используются и где.
Степенные функции
1. Рост древесины происходит по закону A=A0*akt, где A-изменение количества древесины во времени; A0-начальное количество древесины; t-время; k, а - некоторые постоянные.
2. Давление воздуха убывает с высотой по закону P=P0*a-kh, где P- давление на высоте h, P0 - давление на уровне моря, а- некоторая постоянная. Процессы выравнивания (именно так называют процессы, изменяющиеся по законам показательной функции) часто встречаются и в биологии.
3. Рост количества бактерий происходит по закону N=5t , где N-число колоний бактерий в момент времени t.
4. Площадь сечения троса связана с сопротивлением разрыва также по показательному закону. Сейчас многие моря и океаны бороздят исследовательские корабли. В заранее установленных местах они останавливаются и спускают за борт трос, на конце которого находятся приборы. Их опускают на дно, а потом поднимают наверх и записывают показания. Но иногда происходит печальное событие — трос разрывается и все ценные приборы оказываются погребенными на дне моря. Казалось бы, этой беды можно было бы избежать, сделав трос потолще. Но тут возникает новое осложнение — верхние части троса должны удерживать не только спускаемые приборы, но и нижнюю часть самого троса, а потому при утолщении всего троса на верхнюю часть ляжет слишком большая нагрузка. Поэтому целесообразно делать нижнюю часть троса тоньше, чем верхнюю.
5. При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определённой величины.
6. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила света I определяется по формуле: I = I0e-ks, где s – толщина слоя; k – коэффициент, характеризующий мутную среду
Показательные
1.Изменение числа людей в стране на небольшом отрезке времени
2.Если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее, это явление описывается формулой T=(T1-T0)e-kt+T1 е=2.7
3.Как известно, между Марсом и Юпитером планеты не существует, но если следовать таблице Боде, на данной орбите должно находиться какое-либо космическое тело. И действительно, после некоторых исследований был открыт пояс астероидов
Логарифмические
Логарифмы «на слуху» и в ухе. Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, то вряд ли задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действия. Одно из наиболее важных понятий акустики — тон, представляющий собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, человеческого голоса или других источников звука. Мы слышим звук во время одновременного действия нескольких тонов, частоты которых находятся в простых целочисленных отношениях. Сами звуки различаются по высоте, которая зависит от частоты колебаний струны. Для того чтобы понять, как человек ощущает звук, надо начать с описания уха. Рассматривая устройство уха, можно заметить орган, который называется улиткой. Название вполне оправдано, так как форма этой части действительно напоминает улитку.
Она напоминает спирально закрученную трубку. Контур «улитки» можно соотнести с логарифмической спиралью в математике. Спирали, встречающиеся в природе, чаще всего бывают логарифмическими. Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков.
Ее свойства удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы. Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее аналогиям. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, закручены по логарифмической спирали.
Звезды, шум и логарифмы Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые абсолютные звездные величины. Яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5, легко понять, что «величина» звезды представляют собой логарифм её физической яркости. Оценивая яркость звезд, астроном оценивает таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.
Аналогично оценивается и громкость шума. Физическая «сила» этих шумов составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. То есть громкость – десятичный логарифм его физической силы.
Как оказалось, и в сельском хозяйстве не обошлось без логарифмов. Например, исследовав рождение телят, оказалось, что их вес можно вычислять и с помощью логарифмов.
Применение в информатике: первая попытка измерения количества информации была предпринята в 1928 году американским ученым Ральф Хартли. Он попытался связать количество информации с числом возможных сообщений (исходов) и ввел определение логарифмической меры. В 1948 году американский инженер и математик Клод Шеннон предложил более строгую и объективную количественную меру информации. В основополагающей работе "Математическая теория связи" он утверждал, что семантические аспекты неуместны для измерения количества информации в технических системах.
Экономика банковского дела: в наше время нельзя представить экономику банковского дела без расчетов с логарифмами, примером этому следует представленная задача: Пусть вкладчик положил в банк 10 000 руб. под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится? Эту задачу можно решить, используя формулу сложных процентов.
Тригонометрические
Архитектура: широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Большинство композиционных решений и построений проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства. Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу в верх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения Ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно, и синус угла падения увеличивается. Сравнив изменения расстояния от верхушки статуи до земли в первом и во втором случаи, можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу.
Медицина и биология. Формула сердца. В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии. Формула представляет собой комплексное алгебраически тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.
Вывод
Мы нашли много функций в нашей окружающей среде. Они касаются каждой сферы жизни, профессии. Они окружают нас по всюду, и не сложно заметить, что их можно использовать в своих целях, так сказать для упрощения жизни.
Этой статьей я хотел показать важность функций, призвать их изучать.
До новых встреч, всем пока))
