Внимание! Сегодня по-настоящему сложная задача. От вас потребуется не только думать, но и потратить минут 20 свободного времени. А ещё будут нужны листок и карандаш — в уме решить не получится.
Ну вот, после первого абзаца должны были остаться только те, кто в самом деле любит математику и хочет потренировать свой мозг. Эту задачу давали несколько лет назад на Самарской математической олимпиаде (САММАТ). Сейчас столько всяких олимпиад, что за всеми и не уследишь, даже названия порой не знаешь. Так вот, там первым номером была очень интересная задача, на которой, по признанию самих же учеников, посыпались все.
Возможно, посыпались потому, что многие не захотели тратить много времени на первую задачу (по идее она должна быть самой простой). А может и потому, что задача действительно нетривиальная.
Надо предъявить хотя бы одну пару натуральных чисел, которая будет являться решениями уравнения X²+Y²=19451945.
Не листайте вниз, а начинайте думать. Судя по условию, принимались ответы, даже если их просто угадали. Но таких не было.
Решение
Кому удобнее смотреть видео, смотрите.
Обычно такие задачи решаются анализом и подбором. Как правило, действуют по принципу квадрат самого большого числа плюс всё остальное. Поэтому для начала нам надо понять, с какого числа вообще начинать. Тут желательно хорошо знать таблицу квадратов до ста ну или уметь быстро их находить.
Понятно, что, если мы ищем число, квадрат которого будет максимально близок к 19451945, но не будет его превосходить, то число должно быть четырехзначным. И понятно, что первая цифра числа будет 4, потому как 5000²= 25000000>19451945. Вторая цифра тоже должна быть меньше пяти, потому что 4500²=20250000>19451945.
Проверим: 4400²=1936000. Маловато. Можно взять 4410²=19448100. Если взять 4411, то уже будет больше, чем нужно: 4411²=19456921>19451945. Поэтому максимально близкий квадрат — это 4410². Теперь надо найти разность 1945195-4410²= 19451945-19448100=3845. Очевидно, что это не полный квадрат, потому что 62²=3844 [всего на единичку меньше, но тем не менее].
Уменьшаем число на единичку и проверяем дальше. 4409²=19439281. Находим разность и проверяем, а не квадрат ли это какого-то числа: 19451945-19439281=12644. Это не полный квадрат, потому что 112²=12544, а 113²=12769. Снова уменьшаем на единицу и делаем то же самое.
4408 - не подходит; 4407 - не подходит; 4406 - не подходит; 4405 - не подходит; 4404 - не подходит... К этому моменту большинство тех, кто пошел по этому пути, сливаются. Либо не хватает терпения, либо появляются сомнения в правильности выбранного пути, либо становится жалко потраченного на вычисления времени. Это я вам быстренько пишу ответы, а ведь у детей на олимпиадах нет калькуляторов, всё надо считать ручками, в столбик. К тому же не все хорошо ориентируются в квадратах и могут точно оценивать их в уме.
Короче говоря, до числа 4403 доходят немногие. А жаль, ведь 4403²=19386409. Разность равна 19451945-19386409=65536=256².
То есть мы нашли одно решение: 4403²+256²=19451945. Всё, задача решена. По сути это был перебор. Но не тупой перебор, а с анализом. Но все равно, если под рукой нет калькулятора, это довольно долгий и муторный способ решения.
С одной стороны такие громоздкие и сложные с точки зрения вычислений задачи на олимпиадах встречаются редко. Олимпиада — это все же про нестандартные подходы и короткие решения. А с другой стороны где же ещё давать такие задачи, если не на олимпиадах. Не на школьных же уроках, верно?
Как вам задача? Понравилась или нет? Как бы вы её оценили: сложная или легкая, но муторная?
Кстати, если бы мы не бросились с места в карьер, а подумали, то можно было бы, используя признаки делимости на 5 и на 3, отсеять числа 4410, 4407,4405 и 4404. В этом случае осталось бы проверить всего четыре числа, что существенно сэкономило бы время.
Напоминаю, что помимо Ютуб-канала, у меня с прошлой недели появились ещё каналы в Инстаграме и Тик-токе. Подписывайтесь, буду рад видеть вас в числе первых.
Ещё интересно: Олимпиадная задача, которая решается в одно действие
Задача из США на отборе в команду на международную олимпиаду по математике
Олимпиадная задача, которая ставит в тупик даже технарей. Надо найти площадь красных треугольников
