Этот парадокс придумал я сам, хотя не могу с уверенностью претендовать на приоритет. Если вы не читали заметку про массу, то кратко изложу суть.
Масса в релятивистике всегда масса покоя, а в ОТО в контексте гравитации вообще не используется. Масса есть просто форма энергии и, если покопаться, масса тела в основном сводится к энергии связи частиц. Мерой инертности тела является его энергия, а гравитацию создает поле тензора энергии-импульса.
Для тел или систем нескольких тел имеет место соотношение
E² - p²c² = (mc²)².
Это просто величина вектора энергии-импульса. Из этого соотношения можно определить массу системы тел, зная суммарную энергию и суммарный импульс.
Так, если два идентичных шарика летят с одной скоростью в одну сторону, то энергия системы равна удвоенной энергии, и импульс тоже удвоенный. В итоге масса системы равна удвоенной массе шарика вне зависимости от скорости и энергии шариков. Однако если шарики летят навстречу друг другу (или отдаляются друг от друга), то энергия система такая же, а импульс теперь равен нулю. В итоге масса системы определяется как E/c² и может быть очень большой: намного больше двойной массы шарика.
Наиболее злобно получается для безмассовых фотонов: система из двух таких частиц, летящих в одну сторону, массы лишена, а если они летят навстречу, то масса присутствует, и притом какая угодно: предела нет (или почти нет, больше планковской на один квант не посадишь).
Представим себе коробку с выступом: как на картинке. Там с большой скоростью летают два шарика малой массы. Пусть даже нулевой массы, чтобы было проще.
Сначала они летят с одной скоростью в одном направлении, и масса их как системы равна нулю, и к массе самой коробки (оболочки) они ничего не добавляют.
Потом один шарик отскочит от уступа и полетит назад, тогда как второй продолжит лететь вперед; система шариков имеет теперь массу, причем большую, и эта добавка к массе коробки должна быть заметна. Потом второй шарик отскочит и масса упадет, но потом снова подскочит, и так далее.
А ведь если масса станет настолько велика, что соответствующий радиус Шварцшильда станет больше коробки, то коробка станет черной дырой, а это необратимо.
Как же быть?
Быть очень просто. Во-первых, в задаче нарушается закон сохранения импульса, точно так же, как в биллиарде. Если нарушается сохранение импульса, но не меняется энергия, то меняется длина вектора энергии-импульса — а это есть масса. А что такого? Если уж нет сохранения, то для всех его нет.
Более того, допускать такое если и можно (биллиард в пример), то только если энергия покоя (масса) коробки велика по сравнению с энергией шарика. Так, биллиардный стол тяжел по сравнению с шариками, причем важно, что стол соединен с полом силой трения, то есть шарик обменивается импульсом со всей планетой. Если бы в биллиард играл Маленький принц на своем астероиде, игра была бы куда сложнее, чем у нас.
Если вы пренебрегаете энергией шарика по сравнению с массой коробки, то и флуктуациями, описанными выше, тоже пренебрегайте.
Но если быть последовательным, то надо учитывать законы сохранения. А значит, рассматривать систему трех тел, а не двух: коробка плюс пара шариков. В одной и той же системе отсчета отдельно сохраняется суммарная энергия трех тел и суммарный импульс. Велика ли масса коробки — роли не играет.
Энергия такой системы всегда равна 2E+Mc², где M — масса коробки, а импульс всегда равен 2p. Поэтому масса m₃ всей системы, то есть коробки с содержимым, всегда определяется выражением (2E+Mc²)²-(2pc)²=(m₃c²)². А раз мы договорились, что масса шарика равна нулю, то E²-(pc)²=0, откуда (m₃)²=M²+4ME/c².
Обсудим этот результат. В этом выражении для массы системы (коробки с шариками) нет скоростей шариков и нет их импульсов. Поэтому без разницы, как они движутся внутри. Если энергия шарика маленькая по сравнению с энергией покоя коробки, то масса коробки с содержимым равна массе самой коробки, так как у шариков нет массы (по предположению). Если посчитать с учетом массы шариков, получится "масса коробки плюс масса шариков". Если же энергия шариков большая, масса коробки с содержимым будет заметно больше, чем масса пустой. И независимо от позиции шариков внутри: они могут не касаться стенок, а массу создают.
Может показаться удивительным, что массу коробки М нельзя принять равной нулю. Точнее, можно, но тогда и энергия шариков массы не добавляет. Однако это следствие обмена импульсом: если у коробки нет массы, она не может принять импульс. Можно переписать соотношение так: (m₃/M)²=1+4E/(Mc²). То есть, масса полной коробки больше массы пустой, и насколько больше — зависит от отношения энергии E шарика к энергии покоя Mc² коробки. Если шариков много, как, скажем, молекул в газе, то можно считать полный импульс нулевым, и тогда масса сосуда с газом есть масса сосуда плюс масса молекул плюс их кинетическая энергия.
Парадокс полностью разобран.
Закончим еще одним вопросом: как шарики придают массу коробке, не касаясь ее стенок? Ну, всё зависит от того, как мы эту массу будем измерять. Если речь идет о гравитации, то система из шариков и оболочки есть просто распределение некоторой движущейся материи, и оно описывается тензорным полем энергии-импульса. Это заданная в каждой точке матрица, в которой указана плотность в данной точке, импульс, поток импульса, давление. Внутри коробки шарики или снаружи, есть коробка или нет - всё это не столь важно. Есть такой тензор, и всё. Решаем уравнение, определяем метрику, выписываем геодезические. Это и есть траектории тел. Их кривизна совпадает с ускорением свободного падения. Тут можно сравнить с Ньютоном и выписать массу системы. Она и получится именно такая: масса оболочки плюс энергия содержимого, деленная на "це квадрат".
Если речь об инертности. то нужно приложить к коробке силу и измерить ускорение, полагаясь на второй закон Ньютона. Но двигая коробку, мы изменяем систему, если шарик не касается стенок. А когда коснется, это будет заметно. Здесь проблем нет, как нет их в определении массы троса, привязанного к грузовику. Пока трос не натянулся, вроде как грузовик ничего не весит, а потом вдруг начнет весить. Нет, он и раньше обладал массой, просто мы ее не регистрировали. Вот так и с коробкой.
Если же шарики в коробке многочисленны и тыкаются в стенки (как газ, например), так что ускорение коробки ускоряет и все шарики, то ускорение будет маленьким, ведь придется "принудить" все шарики до единого. Так что масса опять-таки получится большая...
Хорошие каналы, на которые стоит подписаться
Подборка научно-популярных каналов коллег
