Это шок-задача, как я её называю, потому что она заставляет удивиться и поднять брови вверх, когда находишь решение и получаешь ответ.
Вопрос прост. Давайте представим, что наша Земля имеет идеальную форму шара (обычно в задачах так и считают). Теперь мы берем веревку длиной с экватор и плотно обматываем ей нашу Землю так плотно, чтобы даже таракан не прополз под веревкой. А теперь увеличиваем длину веревки всего на 1 сантиметр и оттягиваем веревку в одном месте. Спрашивается: пройдет ли в получившийся зазор человек или нет? На всякий случай длину экватора считать равной 40 075 696 метров, а радиус Земли — 6 371 302 метра.
Задачка не простая, надо подумать. Это уровень старших классов или даже первого курса технического университета, так что либо напрягитесь и попробуйте решить самостоятельно, либо расслабьтесь и смотрите решение ниже.
Решение
Для начала давайте сделаем рисунок. Понятно, что нельзя сделать рисунок в масштабе. Уж слишком велико отношение длины экватора к одному сантиметру. Поэтому рисунок будет схематичный, чисто для понимания. Синий круг — это наша условная Земля. Белая линия — это наша оттянутая веревка, которая на 1 сантиметр длиннее экватора. Нам надо узнать пройдет ли человек в образовавшийся зазор или нет. По сути нам надо найти h.
Если h больше двух метров, стало быть большинство представителей Homo Sapience пройдет в образовавшийся зазор, а если меньше, то... надо смотреть и рассуждать дальше.
Ну а теперь давайте решать и рассуждать. Без упрощений тут никак. Поэтому давайте вспоминать, что при малых углах (а у нас получается очень маленький угол, если бы мы рисовали в масштабе) sinα≈α. Теперь, если вы первокурсник, то вспоминаем разложение по Тейлору, а если школьник, то применяем формулу косинуса двойного угла. Я буду считать, как школьник: cosα=1-2•sin²(α/2)≈1-2•(α/2)²=1-α²/2.
Смотрим на черный треугольник на рисунке выше (хотя на рисунке ниже он же). Он прямоугольный, поэтому cosα=R/(R+h). Чтобы упростить правую часть, к числителю прибавим и вычтем h, а в левой части cosα приравниваем к 1-α²/2, так как угол α очень мал. Получаем 1-α²/2=(R+h-h)/(R+h)=1-h/(R+h).
Отнимаем из правой и левой части по единице и умножаем на минус единицу, получаем α²/2=h/(R+h). А учитывая то, что h, очевидно, в тысячи, а то и миллионы раз меньше радиуса Земли, для простоты можем пренебречь этой величиной в знаменателе. Получится α²≈2•h/R (*).
Ещё нужно вспомнить, что длина дуги S равна S=α•R.
Считай, что половину задачи сделали. Теперь смотрим на рисунок ниже (это тот же треугольник, что и на предыдущем рисунке) и вспоминаем, что такое тангенс. Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. tgα=(αR+l)/R=α+l/R (1).
Теперь снова либо пользуемся рядом Тейлора, либо вспоминаем тригонометрические формулы. В этот раз я построю из себя умного и разложу по Тейлору до второго порядка (при малых углах α так можно делать и это будет правдой): tgα=α+α³/3 (2).
Используя (1) и (2), получаем α+l/R=α+α³/3. Отнимаем из правой и левой части α и получаем l/R=α³/3. Откуда α³=3l/R (**).
Теперь равенство (*) возводим в третью степень α⁶=(2•h/R)³=8h³/R³, а равенство (**) во вторую степень α⁶=(3l/R)²=9l²/R² и приравниваем: 8h³/R³=9l²/R². Сокращаем на R², получаем h³=9•l²•R/8. Подставляем числа и считаем h³=9•0,005²•6371302/8=179 м³. Извлекаем корень третьей степени и получаем h=5,63 метра.
Ну и, отвечая на главный вопрос задачи "пройдет человек в образовавшийся зазор или нет?" можно сказать однозначное "Да!". И это поразительно. На этом моменте глаза у детей округляются, брови поднимаются и несколько секунд в классе тишина.
Все были уверены, что, увеличив длину веревки всего на 1 сантиметр, щель получится такая, что разве что мышка проползет, но уж человек точно нет. А тут вон оно как вышло. Оказывается зазор будет больше пяти с половиной метров. В такой зазор два Филиппа Киркорова, стоя друг на друге в полный рост, пройдут. Короче говоря, как я и обещал, это шок-задача. Как она вам? Понравилась?
Кстати, если до сих пор не верите, можете пересчитать и перепроверить всё ещё раз. И не забывайте после всего этого подписаться на мой канал не только здесь, но и в Ютубе.
Ещё интересно: Число pi=22/7. Лайфхак при решении задач, о котором не говорят в школе
Как Макс Вертгеймер хотел одурачить Альберта Эйнштейна. Задача уже 87 лет вводит людей в заблуждение
Эту задачу давали на собеседовании в МФТИ. Чему равна площадь круга?