Даны две точки A(-3;8) и B(2;2). На оси абсцисс найти такую точку M, чтобы ломанная AMB имела наименьшую длину.
Изобразим на координатной плоскости указанные в условии точки A(-3;8) и В(2;2). Точка В₁(2;-2) симметрична точке B(2;2) относительно оси Ох. Прямая АВ₁ пересекает ось абсцисс в точке С. Тогда ВС=В₁С и длина ломаной АСВ равна длине отрезка АВ₁.
Пусть D произвольная точка на оси Ох, отличная от точки С. Тогда
AD+DB₁>AB₁=AC+CB₁=AC+CB.
То есть, ломаная ACB имеет наименьшую длину из всех ломаных ADB и точка С совпадает с точкой М из условия задачи.
Найдем координаты этой точки.
Составим уравнение прямой по двум точкам AB₁:
Найдём точку пересечения этой прямой с осью Ох:
Таким образом М(1;0).
Ответ: М(1;0).
