Эта заметка немного техническая. Про длину веревки до черной дыры. И время падения до нее.
Вот есть у нас сферически-симметричное тело и оно создает поле Шварцшильда, которое в его координатах выглядит вот так и не иначе. Поле — это метрика, и метрика эта такая:
ds²=-(1-a/r)dt²+dr²/(1-a/r) + Ω(dφ,dψ),
где s — это интервал, a=2M — гравитационный радиус, M — масса тела в системе единиц, в которой c=1 и G=1, Ω — сферическая часть метрики, совпадающая с угловой частью метрики в сферических координатах. Мы будем говорить о чисто радиальном движении, так что Ω=0.
Если мы рассматриваем одновременные события, то dt=0, и получается пространственное расстояние, квадрат которого
ds²=dr² / (1-a/r).
А чтобы вычислить расстояние между точками r=A и r=B, нужно взять интеграл. Найдем расстояние от горизонта событий r=a до произвольной точки r=R:
Можно было бы сказать "сделайте замену r²=a²cosh(s)", но это неспортивно. На самом деле, сначала мы избавимся от a под интегралом, сделав замену r/a=q; а потом заменим q на Q². Тогда мы заметим, что корень в знаменателе очень похож на формулу гиперболической тригонометрии, и сделаем еще одну замену: Q=cosh(w). Потом все легко вычисляется, и можно сделать обратные подстановки, применив формулу гиперболического арккосинуса:
И тут интересно посмотреть три предела. Первый, это при R→∞, то есть "далеко от небесного тела". Второй, это a→0, то есть "небесное тело исчезающе малой массы с малым гравитационным радиусом". Ясно, что эти два предела совпадают, так как в первом случае R велико сравнительно с a, а во втором a мало сравнительно с R. Уже отсюда следует, что интеграл сходится, так как при уменьшении массы тела метрика становится ближе к плоской, и интеграл должен плавно стремиться к пределу: бесконечным он быть не может. И понятно, чему будет равен предел: D будет вести себя так же, как R. Положим a=1 и пусть R стремится к бесконечности:
Получается, что расстояние до горизонта событий от отдаленного наблюдателя конечное.
Третий предел: при R→a. Это интересно, так как это поведение метрики в окрестности горизонта событий. Примем a=1:
Это еще раз показывает, откуда берется бесконечное натяжение веревки, если ее конец падает в черную дыру. Последние сантиметры у горизонта очень сильно растягиваются.
Интервал собственного времени при неизменной положении в пространстве считается легко. Теперь ds играет роль времени (с переменой знака): ds=(1-a/r)dt, ну и s=(1-a/R)t.
А вот (координатная) скорость света теперь получается меньше с! Для света всегда ds=0, откуда для радиального луча сразу получаем
dr/dt=(1-a/r), c=1.
А сколько луч будет радиально падать (или выбираться) из окрестности горизонта? Выразим время:
dt=rdr/(r-a)
и возьмем интеграл от r=A до r=R:
Если A стремится к a, то t стремится к бесконечности. Это мы рассмотрели убегающий свет, так как скорость положительна, r растет. Но для падающего луча все ровно так же: скорость dr/dt=-(1-a/r), но и пределы у интеграла наоборот, что дает точно такое же выражение. Так что с точки зрения удаленного наблюдателя свет что падает долго, что выбирается: одинаково долго(!).
Интересно, что расстояние до горизонта конечное, а время бесконечное. Потому что видимая скорость падает до нуля. Прямо как в задаче о лодке!
Еще один интеграл, объем небесного тела, мы обсудим в другой раз.