Рассмотрим сравнительно сложную задачу на замедление времени. Два вращающихся кольца, одного радиуса R, угловые скорости одинаковы по величине ω и противоположны по направлению. На каждом кольце сидит по наблюдателю. Но они время от времени встречаются.
Еще один наблюдатель стоит в сторонке. Для него ситуация симметрична и потому уже ясно, что часы тех двоих ездунов при встрече показывают одно и то же. Следовательно, и сами они при встрече не обнаруживают расхождений при сверке часов. Каждый из них движется относительно неподвижного с ускорением и (задача о близнецах) его часы идут медленнее, чем у покоящегося.
Однако если посмотреть с точки зрения ездуна, то ситуация не так прозрачна. Во-первых, визави движется относительно него и, следовательно, его/ее часы идут медленнее. Поэтому не сразу понятно, почему при встрече показания совпадут и чем это не ситуация задачи о близнецах. Причем так полагает каждый из двух ездунов, и на невозможность очной ставки уже не сослаться: они регулярно встречаются. Во-вторых, движется относительно ездуна и "неподвижный" третий, и его часы не отстают, а напротив — уходят вперед.
Запишем интервал в цилиндрических координатах и примем для простоты c=1:
dτ²=dt²-dr²-r²dφ²-dz².
Траектория одного ездуна: r=R, z=0, φ=ωt. Для другого всё так же, только φ=-ωt. Подставляем в метрику первый и потом второй набор формул: в обоих случаях получается dτ²=dt²(1-R²ω²). Величина τ, которая интервал, называется собственным времени (если вещественная) и это то время, что отмеряют часы наблюдателя, или часы, неподвижные относительно системы отсчета. Мы видим, что они и правда тикают замедленно относительно неподвижных, и показывают одно и то же время.
Теперь посмотрим с точки зрения одного из ездунов. Для этого надо ввести вращающиеся координаты: t'=t, z'=z, r'=r, φ'=φ-ωt.
Траектория одного ездуна тогда r'=R, z'=0, φ'=0; другого r'=R, z'=0, φ'=-2ωt. Запишем метрику:
dτ²=(dt')²-(dr')²-r²(dφ'+ωdt')²-(dz')². Упростим ее: dτ²=(1-R²ω²)dt²-R²dφ'²-2ωR²dφ'dt.
Для первого ездуна φ'=0, то есть dτ²=(1-R²ω²)dt².
Для второго ездуна φ'=-2ωt, то есть
dτ²=(1-R²ω²)dt²-R²(2ωdt)²-2ωR²(-2ωdt)dt=(1-R²ω²)dt²-4R²ω²dt²+4ω²R²dt²=(1-R²ω²)dt².
Результаты совпадают.
Давайте заодно посмотрим, как выглядит неподвижный наблюдатель с точки зрения ездуна. У неподвижного z'=0, r'=R (он стоит у самого обода, чтобы можно было синхронизировать часы), φ'=-ωt; а метрика в системе ездуна имеет вид
dτ²=(1-R²ω²)dt²-R²dφ'²-2ωR²dφ'dt.
Подставляем и получаем интервал dτ²=(1-R²ω²)dt²-R²(ωdt)²+2ωR²ωdt²=dt².
Теперь как эти результаты объяснить?
Дело в том, что ездун может объявить себя покоящимся и всё рассматривать относительно себя, что мы и называем переходом в его систему отсчета; но он движется ускоренно, испытывает инерциальные явления (перегрузки и т.п.) и должен как-то это объяснять.
В ОТО объяснение дается: это гравитационное поле. На самом деле, это единственное разумное объяснение совпадения инертной массы (как способности противостоять действию силы, см. второй закон Ньютона) и гравитационной массы как способности притягиваться и притягивать. Потому что иначе неясно, каким образом планета заботливо притягивает тело именно с такой силой, которая пропорциональна массе. Для силы инерции такого вопроса не возникает.
Да, так вот. Ездун может считать себя неподвижным, но при этом вокруг него есть некоторое (фиктивное) гравитационное поле, которое и тормозит его часы. Неподвижный наблюдатель "падает" в этом поле вот так затейливо, по кругу, и его часы идут незамедленно. Второй ездун движется относительно первого, и можно сказать, что он тоже падает, как и неподвижный, но при этом еще и сам движется, и это движение и замедляет его часы: в чистом виде эффект близнецов.
Гладун А.Д. Элементы релятивистской механики: учебно-методическое пособие по курсу Общая физика. — 2-е изд. — М.: МФТИ, 2012. — 37 с.