Мы уже обсуждали дефект масс звезды: интеграл по шару по метрике Шварцшильда оказывается больше, чем интеграл по тому же шару в плоской метрике. В самом деле, элемент объема в сферических координатах с учетом угловой симметрии есть 4πr²dr, но в метрике Шварцшильда появляется еще множитель 1/(1-2m/r)>1, где 2m — гравитационный радиус; если единицы измерения таковы, что скорость света и гравитационная постоянная равны единице, то m — это просто масса звезды. Здесь есть одна тонкость, которую обсудим ниже, а пока поглядим, что из этого следует. Пусть для простоты звезда имеет постоянную плотность (это предположение некритично). Тогда масса звезды — интеграл по ее объему в обычной плоской метрике — меньше, чем полная энергия покоя звезды, которая равна интегралу от плотности по области, занятой веществом звезды, по метрике Шварцшильда. Масса — это часть этой энергии, а остальное идет на искривление пространства, причем сразу всего, и притом энергия эта нелокализуема.
Теперь обсудим тонкость. Она в том, что радиус a=2m теперь не константа, а зависит от переменной интегрирования (в нашем случае r). В самом деле, интеграл от 0 до радиуса звезды R — это сумма по бесконечно тонким слоям толщины dr, на которые мы звезду мысленно разделяем. Вычисляя вклад слоя от r до r+dr, мы вправе игнорировать слои выше (теорема Биркгофа, обобщающая теорему Ньютона о гравитации внутри шарового слоя), но обязаны учесть слои ниже. Их влияние и проявляется в виде этого гравитационного радиуса a(r). В случае обычных звезд он мал и им тоже можно пренебречь, получая обычный евклидов объем.
Но если мы хотим его учесть, не возникнут ли проблемы вроде a(r)=r и нуля в знаменателе?
Нет. Величина a(r) достаточно быстро убывает, так что a(r)/r всегда меньше единицы. Точное доказательство довольно громоздко, но если вспомнить, что a(r) пропорционален массе внутри шара радиуса r и положиться на "объем пропорционален кубу радиуса", то при постоянной плотности гравитационный радиус пропорционален кубу радиуса r. Тогда отношение a(r)/r~r², и если это при каком-то r=R меньше единицы, то и при всех меньших значениях — тоже.
Таким образом, вот ответ на вопрос "как же считать интеграл по объему звезды в метрике Шварцшильда, если где-то там в недрах есть гравитационный радиус?", который я себе задал и нашел на него ответ в одном из томов Гравитации. Еще раз: интеграл берется не по dr, как в евклидовом случае, а по dr/(1-a(r)/r), где a(r) есть гравитационный радиус шарика радиуса r. Когда мы доберемся до гравитационного радиуса Солнца, гравитационный радиус остатка будет куда глубже.
Есть еще интересные релятивистские ограничения на характеристики звезды, о которых в другой раз!
Хорошие каналы, на которые стоит подписаться
Подборка научно-популярных каналов коллег