Релятивистский псевдопарадокс близнецов с вариантами мы уже рассматривали неоднократно. Вот еще один вариант: неинерциальный.
Итак, имеются два близнеца в своих ракетах, которые на полной тяге двигателей летят к неподвижной базе. С точки зрения базы всё симметрично: она покоится, ракеты с одинаковым по величине ускорением летят навстречу друг другу. Начальная скорость нуль, начальное расстояние одинаковое. Часы близнецов при встрече покажут одно и то же время, и оно будет меньше, чем по часам базы: во-первых, за счет движения близнецов, а во-вторых, за счет их ускорения.
Парадокс в том, что это сложно выразить в системе отсчета близнеца. Но сложно — это не проблема, никто не обещал, что будет просто.
Хотя не так и сложно.
Давайте сначала посмотрим графически на ситуацию в системе базы. Как мы уже знаем, в пространстве-времени Минковского интервал (четырехмерное расстояние) записывается как dτ²=c²dt²-dr², где τ — интервал, а s=τ — собственное время; t — координатное время, оно же время по неподвижным часам, r — трехмерное расстояние. Интервалы бывают трех видов: пространственно-подобные, если dτ²<0; времени-подобные, если dτ²>0; и светоподобные, при dτ²=0. Массивные частицы двигаются по времени-подобным четырехмерным траекториям, а свет — по светоподобным. Прямые соответствуют равномерному прямолинейному движению, а кривые — ускоренному.
Чтобы найти длину времениподобной кривой, нужно взять интеграл вдоль нее от dτ.
Пусть точка движется с постоянной трехмерной скоростью v. Тогда dr=vdt, и интеграл легко считается: s²=(c²-v²)t².
Это обычное кинематическое замедление времени Специальной теории относительности (СТО).
Можно сказать так: косая линия в обычном пространстве длиннее прямой, а здесь — напротив, короче. Самая длинная — это прямая, а самая длинная из прямых — это прямая при постоянных x, y и z, то есть при v=0.
Однако пусть скорость меняется, как угодно. Можно считать, что v(t) — это ломаная линия. Но ломаная в обычном пространстве всегда длиннее прямой, а здесь — напротив, короче. Поэтому ускорения тоже сокращают показания часов. На рисунке это показано предельно наглядно.
Хорошо, теперь попробуем перейти в систему отсчета одного из близнецов. Может ли он объявить себя покоящимся?
В СТО — не может. В рамках СТО вопрос на этом закрывается. Эта теория работает в инерциальных системах отсчета, без ускорений и гравитационных полей. Предельно глупо говорить, что ускорения относительны. Это не так, ускоренный всегда знает, что он ускоренный, за исключением случая гравитационного ускорения — но оно и идет особняком и рассматривается в рамках Общей теории относительности (ОТО).
В ней гравитационное ускорение — это не ускорение как отклонение от прямой! Это и есть движение по самой прямой из возможных линий — геодезической — в кривом пространстве.
Так что в Общей теории относительности — близнец может объявить себя покоящимся; иными словами, можно связать с ним систему отсчета. Однако не просто так, ведь необходимо как-то объяснить эффекты ускорения: размазанного по полу непристегнувшегося кочегара, пролившееся на пульт пиво, исправно идущие часы с гирькой... В ОТО это всё прекрасно объясняется гравитационным полем. Оно, конечно, фиктивное, никакими массами не созданное — но это плата за неинерциальность. В этом поле ускоренно падает база, что также наблюдает близнец; а сама база ничего такого не замечает — см. выше почему. Падает и брат близнеца, но он ещё и сам ускоряется относительно нашей системы отсчета.
В итоге наш близнец ощущает гравитацию и в этом поле его часы идут медленнее часов базы (если он их видит и может сравнивать). При этом база, свободно падающая в поле тяготения, находится в инерциальной системе и гравитационному замедлению не подвержена. А второй близнец ускоряется, и его часы замедлены ровно в той же степени, что и часы брата, так что близнецы друг у друга видят только кинематическое замедление. Если скорости малы, то расхождений в показаниях почти нет, несмотря на ускорения. Правда, большие ускорения очень быстро создадут и большие скорости, причем с точки зрения одного из близнецов братик ускоряется полем И своими двигателями, так что его скорость будет больше, чем у базы.
Можно все это изложить и на языке формул, причем без гравитационных полей: они просто метрика. С точки зрения базы мы имеем близнецов в точках ±A, с нулевыми скоростями и с ускорениями ∓а. Для простоты считаем скорости маленькими, чтобы можно было пренебречь релятивистскими эффектами при сложении скоростей. Значит, скорости их одинаковы по величине и равны ±v(t)=±at, при небольших t. Замедление времени тогда будет интегралом от переменного множителя Лоренца, но он одинаков для обоих близнецов: там скорость в квадрате.
Запишем метрику: dτ²=dt²-dx²=dt²(1-v²), где τ есть время по часам близнецов, а v=at есть скорость. Здесь скорость света принята за единицу для наглядности. Видно, что dτ<dt все время. Интервалы времени по часам близнецов короче, чем по часам базы.
Теперь с точки зрения одного из близнецов. Он покоится, брат движется с ускорением 2а, а база тоже ускоряется с ускорением а. Сделаем замену переменных: x'=x-A+at²/2, dx'=dx+atdt, dx=dx'-atdt. Тогда
dτ²=dt²-dx'²-a²t²dt²+2atdtdx'.
С точки зрения этого близнеца: у него x=A-at²/2, или x'=0. Поэтому dx'=0 и dτ²=dt²-a²t²dt²=dt²(1-a²t²)=dt²(1-v²). Тот же результат!
Как он видит брата? У брата x=-A+at²/2², а в координатах данного близнеца x'=-2A+at², dx'=2atdt. Подставляем:
dτ²=dt²-4a²t²dt²-a²t²dt²+4a²t²dt²=dt²(1-a²t²)=dt²(1-v²).
Тот же результат! Часы у братьев идут одинаково.
А как он видит базу? У базы x=0, то есть x'=-A+at²/2, или dx'=atdt. Подставляем:
dτ²=dt²-a²t²dt²-a²t²dt²+2a²t²dt²=dt². Время базы неизменно, она и не в курсе, что "падает" в фиктивном поле.
Все сошлось.
