Казалось бы, если какое-то множество называют счетным, то, количество элементов в нем можно посчитать. Однако, на самом деле, счетные множества являются бесконечными.
Сегодня, мы с Вами разберемся, какие множества называют счетными и рассмотрим некоторые примеры счетных множеств.
Определение
Сразу же начнем с определения счётного множества:
Множество A счетное, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Или, если между множеством A и множеством натуральных чисел существует биекция.
Таким образом, самым простым примером счетного множества является само множество натуральных чисел. Так как, очевидно, оно эквивалентно само себе.
И тут же, сразу замечаем, что множество натуральных чисел имеет бесконечное число элементов, т.е. счетное множество - бесконечно.
Отличие счетных множеств
Тогда, возникает вопрос, что же его отличает от несчетных множеств? Ответ прост, в счетных множествах мы всегда можем посчитать, сколько элементов находится между любыми двумя элементами этого множества.
Например, между единицей и десяткой, в натуральном ряду, содержится 8 других элементов этого множества:
Теперь, приведем пример еще нескольких счетных множеств и заодно разберемся с тем, что такое биекция.
Примеры счетных множеств
При биекции, каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества. Другими словами, мы можем задать правило, по которому одно множество превращается в другое и наоборот.
Тогда, примером счетного множества могут служить:
1. Множество отрицательных чисел:
Легко построить биекцию между множествами натуральных и отрицательных чисел:
Т.е. каждому отрицательному числу ставим в соответствие его положительный аналог.
2. Множество целых чисел
В данном случае биекция тоже строится довольно легко. Но, для этого нужно применить чуть больше хитрости, чем в предыдущем примере:
Т.е. каждому четному элементу натурального ряда ставим в соответствие положительный элемент множества целых чисел, который получается делением натурального числа пополам. А каждому нечетному элементу натурального ряда ставим в соответствие отрицательный элемент множества целых чисел. Этот элемент является целой частью от деления натурального числа пополам. Ну и единице из натурального ряда ставим в соответствие ноль из ряда целых чисел. Т.е. формулу отображения можно записать так:
Если Вас заинтересовала статья, то попробуйте самостоятельно построить биекцию между множеством рациональных и натуральных чисел.
Буду рада, если Вы поставите лайки, оставите комментарии под статьей и подпишитесь на канал. Там Вас жду более семидесяти интересный статей.
Также, читайте интересную статью о делении отрезка на произвольное число частей (чтобы перейти к ней - нажимайте на название):
Теорема Фалеса. Как поделить любой отрезок на произвольное число равных частей?