Доброго времени суток друзья-товарищи! Продолжаем разбирать ЕГЭ по математике текущего года. Что в меню сегодня? Стереометрия! Прошу любить и не жаловаться.
а) Докажите, что прямая KP пересекает отрезок SN в его середине.
б) Найдите расстояние от точки P до плоскости ABS.
Перво-наперво, в любой геометрической задаче стоит построить хороший чертеж. Чем мы и займемся. Помним, что правильная четырехугольная пирамида имеет в основании квадрат, а ее высота опускается в точку пересечения диагоналей этого квадрата:
Теперь стоит понять, где же находится точка P. Следите за руками. AB и DC параллельны, как стороны квадрата. Значит, DC и плоскость ABK также параллельны. Тогда, существует прямая, параллельная DC, которая будет проходить через точку K.
Но мы знаем, что точка К и DC лежат в одной плоскости SDC. Значит и искомая прямая лежит в плоскости SDC:
Эта прямая, конечно, пересечет SC, а следовательно, даст нам так необходимую точку P.
Для лучшего понимания, как все работает в этой задаче, полюбуемся на плоскость ABK:
Впрочем, данный чертеж нам ничем не поможет. Лучше посмотрим на грань пирамиды SDC:
В ней лежат обе прямые из первого вопроса: KP и SN. Мы знаем, что KP проходит параллельно DC, а точка K — середина SD. Из этого следует, что KP — средняя линия треугольника SDC. А значит, она делит и медиану треугольника — SN — пополам. Что и требовалось доказать в пункте (а).
Пункт (б) решим координатным методом. Для этого назначим начало координат в точке H и начертим оси:
Нас просят найти расстояние от точки P до плоскости ABS. Для решения данной задачи будем использовать формулу:
A, B, C и D - коэффициенты уравнения плоскости, до которой мы ищем расстояние. А x, y и z — координаты точки, от которой мы ищем расстояние.
Итак, нам необходимо найти уравнение плоскости. Следовательно, нам понадобятся координаты трех точек, принадлежащих плоскости. Координаты точек ABS определить легко:
Вспомним, как выглядит уравнение плоскости:
Подставим полученные координаты точек A, B и S в уравнение плоскости вместо переменных x, y и z. Получим систему из трех уравнений:
Сложим первые два уравнения (первая строка) и вычтем из второго уравнения первое (вторая строка). В третей строке перенесем D вправо:
Путем нехитрых преобразований выразим каждый из коэффициентов через D:
Подставим данные выражения в уравнение плоскости, после чего сократим все на D и умножим на -168:
У нас получилось уравнение, которое описывает все возможные точки, принадлежащие плоскости ABS.
Найдем координату точки P. Для этого нам понадобятся точки S и C:
Из первого пункта мы знаем, что точка P — середина SC. Значит, ее координаты равны среднему арифметическому координат концов отрезка:
Подставим найденные координаты в уравнение расстояния от точки до плоскости и получим ответ:
Чисто геометрическое решение второго пункта найдите самостоятельно. Оно довольно простое.
Дальше по плану неравенство:
Спасибо за внимание и удачи!
Если вам понравились задачи, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!
