Между тем, решения это проблемы даже на горизонте не предвидится, хотя есть некоторые частные успехи.
Прежде всего хотелось бы немного погрузить в курс дела. Диофант - последний из величайших греческих математиков. Его вклад в математику настолько велик, что его иногда называют "отцом алгебры".
Однако наиболее известными являются т.н. "диофантовы уравнения" - уравнения с произвольным количеством неизвестных, решения которых необходимо искать только в целых числах (в некоторых случаях в рациональных).
Множества решений определенных уравнений часто имеют собственные названия. Например, второму уравнению на рисунке выше удовлетворяют т.н. "пифагоровы тройки" - очевидно, что решения данного уравнения являются сторонами прямоугольного треугольника.
- Проблеме диофантовых уравнений даже была посвящена одна из 20 великих математических задач XX века - читайте материал про необычную судьбу этой проблемы.
Те или иные диофантовы уравнения могут иметь конечное или бесконечное число решений, а могут не иметь вовсе. Самым простым примером последнего является уравнение вида:
Такое уравнение в целых числах решений не имеет решений: какие бы целые числа не выбрать вместо x и y, слева не получится нечетного числа.
В своих исследованиях Диофант хотел найти некие особенные последовательности: в них сумма любого попарного произведения и единицы представляет собой полный квадрат. Такие множества чисел можна описать системами диофантовых уравнений:
Впрочем, сам Диофант при жизни так и не обнаружил целый пример (странно, почему?). Ему удалось найти лишь четверку рациональных чисел, которую найти, мягко говоря, сложнее:
Здесь, например, (17/4*105/16) + 1 = 1849/64, что является квадратом числа 43/16. Математики условились называть такие последовательности чисел диофантовыми тройками, четверками, ...
Вот только уже на пятерках пришлось резко притормозить, ведь ни у кого в течение почти 2 тысяч лет на получалось их найти. Впрочем, и здесь засветился Леонард Эйлер. У него получилось дополнить четверку Ферма, но только рациональным числом:
Уже в 20 веке было доказано, что добавить иное целое число в данную последовательность не получится.
Кроме того, хорватский математик Андрей Дуелла в 2004 году показал, что если диофантовы пятерки и существуют, то их количество конечно. Ему удалось показать, что входящие в такой набор числа, не превосходят 10^10^26.
Второй вывод из статьи в том, что диофантовых шестерок в целых числах не существует. Про рациональные числа это утверждение ложно, и тому есть примеры:
{9/140, 47/105, 608/105, 1225/12, 347072/176505, 121275/6724}
Про целые диофантовы пятерки до сих пор ничего конкретного неизвестно, но, как говорится, дорогу осилит идущий! Спасибо за внимание!