Хочу рассказать Вам о красивом геометрическом утверждении, которое при первой прикидке выглядит сложным, но на самом деле оказывается приятной прогулкой и мощной абстрактной теоремой.
Теорема Бойяи-Гервина утверждает, что два любых многоугольника с равной площадью являются равносоставленными. Т.е. один из них можно разрезать на несколько фигур и составить из него другой.
Заметьте, не важно сколько углов, главное - одинаковая площадь!
Теорема доказывается исключительно наглядно. Первое, что надо понять, - это свойство эквивалентности - если построить из одного многоугольника второй, то и из второго есть способ вернуться обратно. Второе - транзитивность, что значит, что если из первого можно построить третий, и из второго, разрезая и складывая, можно построить третий, то и второй можно составить из первого, и наоборот.
Разобрались? Теперь возьмем произвольный многоугольник А. Очевидно, что его можно триангулировать, т.е. разбить на треугольники.
Далее мы берем каждые получившиеся треугольники и делаем из них параллелограммы таким образом:
И теперь самый важный момент: сплющивая параллелограмм мы можем задаться условием сделать из него фигуру с любой, наперед заданной, высотой. Например, вот так:
А теперь последний шаг! Мы задались высотой затем, чтобы составить из параллелограмма уже прямоугольник с такой же стороной:
Вернемся назад и повторим для каждого треугольника исходной фигуры А. Теперь, сложив их все, мы создали прямоугольник С с нужной нам высотой. Состыковав их мы так же получили прямоугольник с известной нам стороной.
Теперь возьмем равный по площади многоугольник B, из которого мы можем сделать тот же самый прямоугольник С !
На самом деле, важнейший шаг - задаться одинаковой высотой параллелограмма в шаге 3, которая и определит и в первом и во втором случае одну и ту же сторону прямоугольника С, а значит и одну и ту же площадь, ведь изначальные многоугольники равновеликие!
Таким образом, мы из разных многоугольников А и B получили один и тот же прямоугольник С, а значит по свойству транзитивности, можно получить и из любого по форме многоугольника А (только равновеликий) многоугольник B. Теорема доказана! Кстати, в трехмерном пространстве такое не всегда возможно! Читайте про третью проблему Гильберта, если будет интересно. Спасибо за внимание!
Читайте также:
- Что такое трансцендентные числа ?
