Эта зaдaчa нaзывается крaевой зaдaчей на собственные знaчения и собственные функции для оперaтора Штурма-Лиувилля. А числа λ, которые дают нетриви a льные реш e ния называют собственными значениями.
Теперь можно привести примеры решение задач:
Основным источником задач Штурма — Лиувилля служит так называемый метод Фурье решения уравнений в частных производных . Его суть можно объяс
нить на примере уравнения колебаний струны, представим струну, натянутую вдоль оси OX между точками х = 0 и х = l (рис2.1) . Через u(x; t) обозначается положение точки струны в момент времени t, изначально точка находилась в покое на оси OX. E сли учесть, что струны колеблятся только в вертикальном направлении, то тогда функция u удовлетворяeт такому уравнению (рис.2.2):
рис.2.1 рис.2.2
Это уравнение (рис.2.2) называется уравн e нием св o б o дных к o л e баний стр y ны.
Коофицент r в уравнении св o бодных к o лебаний струны физически обратно пропорционален натяжению струны, поэтому его можно считать положительным числом. Концы струны закреплены на точках 0 и l, математически это можно выразить так (рис.2.3):
рис.2.3
Также для нахождение единственного решения уравнения необходимо задать начальные условия скорости и положения каждой точки струны. Это задаётся двумя функциями (рис.2.4), (рис.2.5):
рис.2.4 рис.2.5
Метод штурма заключается в том, сначала находятся частные и нетривиальные решения задач вида: u(x, t) = y(x) * τ (x) , а уже затем ищутся в форме рядов (рядов Фурье), составленных из решений предыдущего типа. Подстановка u(x, t) = y(x) * τ (x) в уравнение (рис.2.2), после некоторых преобразований, выводится в следующие уравнение (рис.2.6):
рис.2.6
Поскольку правая и левая части уравнения являются функциями с разными коофицентами (х и t ), то оно решается только в том случае, если обе части принимают одинаковое значение, оно обозначается через λ . Таким образом уравнение (рис.2.6) равнозначно системе линейных дифференциальных уравнений второго порядка (рис.2.7):
рис.2.7
уравнение τ `` + λ * τ = 0, t ≥ 0 изучается тривиально, так как является линейным уравнением с постоянными коэффициентами, уравнение y`` + λ* r(x)*y = 0 x ∈ [0, l] является, в совокупности с условиями (рис.2.3), в точности задачей Штурма-Лиувилля.
Далее я рассмотрел другой способ решения задачи на колебания струны, уже без метода Штурма-Лиувилля. Буд у рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. Д вижение точек струны происходит перпендикулярно оси OX и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая дает величину перемещения точек струны с абсциссой x в момент t.
