Лучше начать с полного условия, ну а короткое — на рисунке 👆👆👆
AD, CF и BE - радиусы касающихся друг с другом окружностей. DF - прямая, которую касаются все три окружности. Полное условие 👇👇👇
Условие
Две окружности, радиусы которых равны 36 см и 49 см, касаются внешним образом друг друга и касаются некоторой прямой. Найдите радиус меньшей из окружностей, касающейся двух данных окружностей и этой прямой.
Обновлено
В комментариях есть решения, пока только через теорему Пифагора. Одно очень подробно расписано — хорошее решение, смотрим. Моё решение ниже — для разнообразия. Но сначала подводящая задача.
Подводящее задание
Рассмотрим ∆ABC — это прямоугольный треугольник, ∠ACB = 90° (AC и BC - биссектрисы; свойство касательных проведённых из одной точки), CH — высота проведённая к гипотенузе, AH и HB — проекции. Найдём CH.
CH = √(AH • HB) — среднее геометрическое двух проекций (тема: пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике).
Рассмотрим отрезок EF — это сумма двух касательных EC и FC, каждая равна CH (свойство касательных проведённых из одной точки). Найдём EF.
EF = 2 CH = 2 √(AH • HB) — удвоенное среднее геометрическое радиусов этих окружностей.
Вывод:
Расстояние между точками касания двух касающихся внешним образом окружностей - удвоенное среднее геометрическое радиусов этих окружностей.
Решение
Пользуясь выводами из подводящего задания дорисуем необходимые прямоугольные треугольники в каждой паре касающихся друг друга и прямой окружностей.
Можно запустить GIF 👇👇👇:
А можно полистать галерею 👇👇👇:
Пусть x — радиус (BE, BN и BP) меньшей из окружностей.
1. ∆ABH
DE = 2 PH = 2 • 7√x — отрезок DE между меньшей и большей окружностями.
2. ∆BCT
EF = 2 NT = 2 • 6√x — отрезок EF между меньшей и средней окружностями.
3. ∆ ACO
DF = 2 MO = 2 • 42 — отрезок DF между средней и большей окружностями.
Тогда, по свойству длины отрезков, можно составить и решить уравнение:
7√x + 6√x = 42 — сумма половин двух меньших отрезков равна половине большего;
x = 1764/169 (см) — радиус меньшей окружности.
Ответ: 1764/169 см
