По решениям в комментариях заметил, что многие не знают теорему синусов, ну или просто не применяют. Некоторые решения от этого становятся длиннее. И, конечно, никто не признаёт незнание, почти никто. Под одним из решений читательница так и сказала: «доказательство сразу не приходит на ум». Исправим?
Теорема Синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру (двум радиусам) описанной окружности.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник ∆ABC и докажем, что отношение стороны AC к синусу противолежащего угла ∠B равно диаметру окружности описанной около это треугольника.
Для это опишем окружность около треугольника (проще сперва нарисовать окружность), с центром в точке O.
Из любой вершины при стороне AC (сторона, которую мы рассматриваем) проведём диаметр, а другую вершину при той же стороне соединим с получившимся диаметром. Треугольник ∆ADC - прямоугольный (вписанный ∠C - опирается на диаметр), вписанный угол ∠ADC = ∠ABC - опираются на одну дугу. Найдём через этот прямоугольный треугольник sin∠D, а значит и sin∠B:
Тоже самое можно повторить с оставшимися сторонами и противолежащими им углами.
Теорема доказана.
Применение
Теорема синусов применяется и для нахождения углов, сторон (обычно это пропорция), но чаще для нахождения радиуса описанной окружности.
Теорема синусов есть и в первой части ОГЭ: список заданий из открытого банка.
Несколько решённых 25-х заданий с помощью теоремы синусов (в том числе):
