Это решение, пожалуй, самое важное: оно описывает гравитацию небесных тел (но не только поэтому). И черных дыр тоже, но только невращающихся и незаряженных. Но не только черных дыр! Смещение перигелия планет и линзирование лучей оно тоже описывает, хотя Эйнштейн вычислил величину этих эффектов иначе, не решая уравнений для метрики. Метрику нашел Шварцшильд в 1916 г. Хотя, например, Рашевский Шварцшильда не упоминает вовсе. Но он и космологические решения назвал "фантазиями".
Начнем с того, что уравнение Эйнштейна можно рассматривать для пустого пространства. Когда мы получали ньютонов предел и в космологии у нас было распределение плотности, и, соответственно, ненулевой тензор энергии-импульса в правой части. А можно считать массы точечными, а поле изучать только в свободной от масс области: в пустом пространстве. Единственное, что надо исключать массы вместе с некоторой окрестностью: иначе возникают расходимости и сингулярности. А так тоже возникают, но уже прирученные))
Впрочем, небесные тела совсем не точки, так что ничего плохого нет, если мы рассматриваем гравитацию только вне небесного тела, которое ее создает.
Это общий подход (насколько он общ — я расскажу в другой раз), но у Шварцшильда такое небесное тело одно. Это шар в пространстве, или "трубка", то есть бесконечный цилиндр, в пространстве-времени.
Считаем, что тело симметрично и, соответственно, и метрика тоже симметрична. К тому же предположим, что она стационарна: не зависит от времени.
Тогда метрика зависит только от радиальной переменной r (расстояния до центра небесного тела). И диагональна: произведения dtdr и другие в выражение для расстояния ("интервала") не входят, а входят только квадраты. Еще немного соображений симметрии и преобразований координат к более удобным, и вот общий вид интервала в координатах, похожих на сферические:
Уравнение Эйнштейна для пустого пространства записывается очень просто:
И остается только подставить метрику в него. Это делается не очень сложно, но с небольшой технической возней. Получается система уравнений для неизвестных функций T(r), A(r). В частности, получается уравнение
из которого следует
Еще получается, что T(r)A(r)=const. В итоге имеем метрику Шварцшильда:
Константу a определим из предела на бесконечности, где метрика должна стремиться к плоской метрике Минковского, а гравитация — к формуле Ньютона. Это дает
где G — гравитационная постоянная, а m — масса нашего гравитирующего тела. Эта величина имеет размерность длины и называется радиусом Шварцшильда. В указанных координатах метрика имеет особенность при r=a: это горизонт событий. Правда, горизонт возникает, только если масса вся внутри шарика радиуса a, а для обычных небесных тел это не так. Вот для черных дыр именно так.
Еще одна особенность при r=0, и ее не устранить заменой координат. Но она нас не волнует, так как мы договорились убрать из области точку вместе с некоторым шариком вокруг.
Для Земли этот радиус меньше сантиметра (см. далее), так что расстояния r (помним, что мы рассматриваем пространство вне небесного тела?) велики по сравнению с a, поэтому метрика мало отличается от плоской. Но отличается, особенно сказывается на течении времени, и это можно измерить.
А что мы можем извлечь полезного из данной метрики? Во-первых, мы можем записать уравнения для геодезических. Если принять за параметр время, то уравнение будет немного отличаться от уравнения, решением которого являются кривые второго порядка. Эллипсы в том числе. Добавочка и приводит к незамкнутости орбиты, известной как поворот перигелия. Если геодезическая светоподобная, то она описывает ход лучей света, и позволяет вычислить отклонение лучей: линзирование. Обо всем этом я отдельно расскажу.
Еще с помощью этой метрики можно легко ответить на некоторые вопросы. Например, описать скорость и вообще движение тела, отвесно падающего на звезду в поле тяготения.
Напоследок посмотрим на замедление времени. Собственное время — это ds. Если часы неподвижны в некоторой точке с данным r, то время по этим часам выражается через координатное время dt (время отдаленных часов) формулой
Для Земли r=6400км, m=6е24кг, G=6.7e-11м³/кг/с², c=3e8м/с, обозначение е6 означает "умножить на 10 в степени 6". Получаем a=1e-2м, то есть около 1 см. Это радиус Шварцшильда для Земли: если ее массу упихать в такой объем (с вишню или, может, сливу), она станет черной дырой.
Формулу замедления времени можно упростить:
Получим коэффициент замедления 1/1280000000, или примерно одну миллиардную секунды за секунду. Мало? Но за сутки (86400 секунд) накопится около 1/20 миллисекунды, что уже может быть заметно и может, например, сделать невозможной спутниковую навигацию (без поправок). Свет за это время пролетит 15 километров!
Аналогично и удлинение расстояний. Если замерить расстояние между двумя точками, отличающимися только координатой r, то оно будет больше, чем разность этих r. Чем ближе r к a, тем больше отличие. Более того, объем звезды больше, чем объем шара того же радиуса в плоском пространстве, поэтому масса звезды меньше, чем полная энергия (плотность умножить на объем звезды в искривленном пространстве). Это понятно: масса это только часть энергии, а остальное ушло на искривление пространства.
Есть еще интересные эффекты, но о них в другой раз!
