В настоящее время в математике насчитывается более 20 разделов. Обычно, в школе изучаются около 6 из них:
это арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, математический анализ и теория вероятностей
Все разделы математики объединяет единая структура построения, речь о которой пойдет ниже.
Основой любого раздела математики являются неопределяемые понятия. Это как раз те базовые абстракции речь о которых шла в предыдущей статье.
Понятия числа – неопределяемое. То есть можно сказать, что ни один математик не знает, что такое число!
Почему так? Давайте представим, что нам удалось сказать что такое число. Для этого нам потребуются другие слова. Тогда эти слова останутся неопределёнными. Дадим определение и этим новым словам, но тогда и они снова будут не определены и так до бесконечности!
Поэтому математики решили так:
и ежу понятно, что такое число, поэтому оставим это понятие без определения, но будем от него отталкиваться
Аналогично понятию «числа», неопределяемыми в геометрии будут понятия точки, прямой, плоскости, фигуры и т.п. Кстати весьма занятным будет попытка сформулировать, что такое точка, пишите ваши варианты в комментариях!
После неопределяемых понятий в математике вводятся аксиомы: это истинные утверждения о неопределяемых понятиях. Поскольку они истинные, то их не доказывают.
Впрочем, по аналогии с неопределяемыми понятиями, чтобы доказать аксиому понадобятся некоторые аргументы. Но тогда эти вспомогательные аргументы останутся недоказанными, и мы снова углубляемся в бесконечную пучину вспомогательных аргументов.
Аксиомы отличаются свой простотой, чтобы сомневаться в их истинности не приходилось.
Например: «через любые 2 точки проходит единственная прямая» - это аксиома геометрии.
«От перемены мест множителей произведение не меняется» - это аксиома арифметики, которая называется умным словосочетанием «свойство коммутативности произведения».
В математике стремятся к тому, чтобы количество аксиом и неопределяемых понятий было как можно меньше.
Сформулировав основные понятия и аксиомы, мы закончили, условно говоря, фундамент. Дальше будет расти само здание. Здание математики состоит из определений и теорем.
Первые определения опираются на неопределяемые понятия. Например, лучом называют часть прямой, ограниченную одной точкой; а отрезком называют часть прямой, которая заключена между двумя точками.
Следующие определения уже не так сильно опираются на основные понятия. Например, угол – это два луча, выпущенные из одной точки. А дальнейшие определения могу и вовсе опираться только на ранее введенные определения, без использования основных понятий.
Теоремы – это уже утверждения, которые требуют доказательства (в отличии от аксиом).
По аналогии с определениями, доказательства первых теорем будет опираться на аксиомы, а по ходу появления новых теорем для их доказательства будут использоваться уже ранее доказанные теоремы.
Среди теорем можно выделить свойства, признаки.
Для иллюстрации свойств можно ввести такую шуточную аналогию: имеется алкоголик. Какие у него свойства? От него воняет, он шатается, ненадежный и т.п.
То есть свойства – это то, чем обладает объект по факту его существования.
А какие признаки алкоголика можно выделить: если некто имеет регулярно запах перегара, шатается, состоит на учете в алкодиспансере и т.п. – то можно сказать, что этот некто - алкоголик
То есть признаки – это причины, выявив которые мы можем отнести некоторый объект к определенной группе.
Таким образом, у нас вырисовывается следующая структура разделов математики: