Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Мало какая область математики может похвастаться такой, с одной стороны, тривиальной простотой, а с другой - всеобщностью применения далеко за пределами царицы наук. Речь идет о теории групп, изучающей множества с определенными на них математическими операциями. Разберемся же, что скрывается под понятием "группа" в общей алгебре. Поехали!
Призываю всех прочесть этот материал до конца. Вам точно понравится его простая математическая стройность. Кроме того, в нём нет ничего сложного для понимания, хотя для 70 % людей это будет новым знанием.
Определение (с пояснениями для самых маленьких)
Итак, группа - это множество элементов с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией, имеющей нейтральный элемент, причем каждый элемент группы имеет обратный элемент. Теперь по порядку:
- ассоциативная операция - знакомое слово из школьной программы. Таким свойством, например, обладают сложение, где (a + b) + c = a + (b+c) и умножение (a * b) * c = a * (b * c), т.е. порядок скобок не влияет на результат. От типа операции зависит название группы, например, группа по сложению, группа по умножению. Всё просто.
- бинарная операция - значит имеющая в составе два аргумента. Сложение и умножение - как раз такие, а вот например операция вычисления факториала n! - унарная.
- нейтральный элемент - т.е. такой элемент, при выполнении операции с которым аргумент не меняется. Для умножения - это единица, ведь а*1=a, для сложения - 0, потому что а + 0 = а.
- обратный элемент - для операции сложения обратный элемент называется противоположным, т.е. просто имеет знак "-", т.е a + a = 0. Для умножения называется обратным числом а⁻¹ , т.е. таким, что а *а⁻¹ = 1.
Еще одно важное требование - все производимые в множестве, которое претендует на высокое звание "группа", бинарные операции не должны выводить результат за пределы это множества. На примере станет понятнее. Да-да-да, для тех, кто знает чуточку больше, скажу что бинарная операция отображает множество в себя.
Ну вот и всё, всего 4 простейших термина, и в наших руках мощнейший инструмент для изучения окружающего мира!
Применение теории групп не ограничивается абстрактной математикой. Группы стали незаменимы там, где проявляются любые свойства симметрии - в кристаллографии и квантовой механике, специальной теории относительности и электромагнетизме. Фактически, теория групп - одно из универсальных орудий познания нашего симметричного мира.
Давайте разберем группы на конкретных примерах. Для понимания потребуется уровень знания математики 6-го класса. Дерзайте!
Любите математику! Спасибо за внимание!
