#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
НЕМНОГО о РАЗНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ И СОВСЕМ ЧУТЬ-ЧУТЬ о КОМБИНАТОРИКЕ
Здравствуйте, уважаемые читатели!
Поводом для рассмотрения этой, не совсем стандартной для школы темы послужили комментарии Галактиона Терешина к моей статье «Честно говоря, содержание этой задачи вызвало у меня некоторое недоумение…». У нас с ним разгорелась нешуточная и достаточно продолжительная дискуссия, с которой желающие могут ознакомиться в вышеупомянутых комментариях, начавшаяся с обсуждения следующей им предложенной задачи, которую я дословно цитирую:
Как распределить поровну 11 одинаковых конфет 4-ём одинаковым девочкам, не разрезая эти конфеты на части (ссылка на комментарий).
На мой взгляд предложенная задача некорректна по следующим причинам:
- Слово распределить означает отсутствие остатка после завершения процесса распределения.
- Без деления на части невозможно поровну распределить 11 конфет между четырьмя девочками, поскольку 11 не делится нацело на 4.
Задачу можно сделать корректной, если оговорить, что данные в её условии числа записаны не в десятичной позиционной системе счисления.
Десятичная позиционная система счисления — это система записи (и чтения) чисел, основанием которой служит число 10. В этой системе используется 10 цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, значение каждой из которых зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Запись любого числа состоит из одного или нескольких разрядов. 10 единиц каждого разряда образуют единицу более старшего разряда. Самый младший разряд — разряд единиц — это самый младший разряд в числе, записываемый в многозначном числе крайним справа.
Разрядная единица — число 10 в степени n-1 в n-разряде; в разряде единиц разрядная единица — это число 1 (единица).
Любое число в десятичной системе счисления можно записать в виде суммы разрядных слагаемых, так числа в условии предложенной задачи можно записать в виде 11 = 1 × 10 + 1 и 4 = 4 × 1.
Кроме десятичной позиционной системы используются позиционные системы с другими основаниями.
Все знают шестидесятиричную систему счисления, в которой измеряется время и градусные меры углов: 1час = 60мин = 3600 сек или в принятых обозначениях 60’ = 3600” для времени и 1° = 60’ = 3600” для углов.
Меньшее распространение в современном мире имеет двенадцатиричная система счисления, обычно применяема для обозначения наборов посуды — в сервизе обычно 12 предметов одного вида: 12 чашек, блюдец и ложечек.
Наибольшее распространение в наши дни получила двоичная система счисления, в которой всего 2 цифры: 0 и1. Это оказалось очень удобно для использования в ЭВМ: 1 — есть ток или напряжение, 0 —их нет.
В этой системе две единицы одного разряда образуют единицу следующего по старшинству разряда:
0=0, 1=1, 2= 10, 3=11, 4=100, 5=101, 6=110, 7=111,
8=1 000 и так далее.
Для примера разрядная сумма числа 111 в этой системе запишется как
1 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1, что равно числу 7 в десятичной системе.
Но вернёмся к нашей задаче. Очевидно, что числа в её условии записаны не в двоичной системе. Попробуем троичную систему, основанием которой служит число 3, что означает, что каждые три единицы одного разряда образуют единицу следующего. В этой системе число 11 = 1×3 + 1 будет равно числу 4 в «нашей» десятичной системе, а вот цифры 4 в этой системе нет, поэтому она нам не подойдёт.
Но зато нам подойдёт семиричная система счисления, с основанием 7, использующая 7 цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. В этой системе запись 11 = 1×7+1 обозначает число 8 в «нашей» системе и есть цифра 4. Очевидно, что при записи условия задачи в этой системе каждой девочке достанется по две конфеты.
Предлагаю читателю самостоятельно убедиться, что при записи чисел в условии задачи в одиннадцатиричной системе каждая девочка получит по 3 конфеты, а при использовании пятнадцатиричной системы — по 4.
Продолжая дискуссию Галактион Терешин, предложил следующую задачу.
Мальчику Вове поручили раздать 11 конфет 4-ём девочкам, не пропустив ни одной из них. Какова неоднозначность задачи, поставленной перед Вовой?
РЕШЕНИЕ.
Понимая под неоднозначностью решения число вариантов распределения конфет между всеми четырьмя девочками без учёта порядка их следования, можно подбором найти следующие 11 вариантов распределения конфет.
1118 1127 1136 1145; 1226 1235 1244 1334; 2225 2234 2333.
Мне кажется, что приведённое распределение само по себе объясняет варианты системного поиска вариантов распределения, ну а саму задачу, вполне можно отнести к комбинаторным. В курсе комбинаторики будут разбираться и значительно более трудные задачи, однако автор не ставил целью заканчивать статью их разбором.
Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.
Читайте наш канал в телеграм - по этой ссылке
Другие статьи автора:
