Построение медианы и высоты треугольника при помощи циркуля и линейки
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
Предлагаю вспомнить построение медианы и высоты треугольника при помощи циркуля и линейки на примере решения задачи 154 (б) и 154 (в) из 9-го издания учебника по геометрии для 7-9 классов авторов Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняк и И. И. Юдиной под научным руководством академика А. Н Тихонова.
Условие задачи 154 (б):
Дан треугольник ABC. Постройте медиану BM.
Решение:
Найдём при помощи циркуля и линейки середину стороны AC.
1) Построим две окружности с центрами A и C радиуса AC. Они пересекаются в точках P и Q.
2) Проведём прямую PQ. Точка M пересечения этой прямой со стороной треугольника AC – это середина стороны AC.
Действительно, треугольники APQ и CPQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 равен углу 2.
Следовательно, отрезок QM – биссектриса равнобедренного треугольника AQC.
В главе II §2 п.14 учебника на странице 35 даётся теорема:
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Доказательство этой теоремы приводить не будем – это уже сделали авторы учебника. Нам важно, что так как биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является и медианой тоже, то точка M пересечения этой прямой со стороной AC и есть середина стороны AC. Теперь проведём из вершины треугольника B отрезок BM – это и есть медиана, так как точка M – середина стороны AC.
Условие задачи 154 (в):
Дан треугольник ABC. Постройте высоту СН треугольника.
Решение:
1) Построим окружность радиуса CB с центром в точке C. Эта окружность пересекает прямую AB в двух точках – точке B и X.
2) Затем построим две окружности с центрами B и X, проходящие через точку C. Эти окружности пересекаются в точке C и ещё одной точке, которую обозначим буквой K.
Прямая CK перпендикулярна прямой AB, так как треугольники CKB и CKX равны по трём сторонам, следовательно, луч CK является биссектрисой угла равнобедренного треугольника BCX, а значит, отрезок CH (H – точка пересечения прямых AB и CK) является биссектрисой, медианой и высотой этого треугольника, проведённого из вершины C к основанию BX, лежащей на прямой AB.