На уроках математики нам часто встречаются выражения, уравнения и неравенства, в которых нет ограничений, влияющих на нахождение корней. Мы решаем их по алгоритму, не задумываясь, и записываем ответ.
Но уже в квадратных уравнениях и неравенствах появляется дискриминант, который влияет на количество корней.
D>0 => x1 и х2
D=0 => x1=x2
D<0 действительных корней нет.
Таким образом, выражения, уравнения и неравенства усложняются и при решении могут появиться посторонние корни или невозможность решить задание. Чтобы это избежать перед решением необходимо провести анализ и найти область допустимых значений (ОДЗ).
Разберемся с понятием область допустимых значений (ОДЗ).
Область допустимых значений алгебраического выражения - это множество всех допустимых значений переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл.
Область допустимых значений уравнения - это множество всех тех значений переменной x, при которых обе части уравнения имеют смысл (одновременно).
Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) выражений, уравнений, неравенств и их системы - это значение переменных при которых выражение имеет смысл.
Для того чтобы правильно находить ОДЗ важно хорошо знать теорию алгебры. Рассмотрим несколько примеров на нахождение области допустимых значений.
Пример 1.
Задано квадратное уравнение. Если данное выражение представить в виде квадратичной функции - графиком является парабола, которая определена на всей оси Ох, значит данное уравнение имеет смысл при любых х.
ОДЗ х ϵ R
Пример 2.
Задано дробно-рациональное уравнение. Если представить выражение в виде функции - графиком будет функция, которая стремиться к 0, но не достигает его, значит знаменатель каждой дроби не может быть равен 0.
ОДЗ
Пример 3.
Задано логарифмическое уравнение. Если представить выражение в виде функции - графиком будет логарифмическая функция, которая имеет смысл при положительных значениях логарифмируемого выражения.
ОДЗ
Построим числовую прямую и отметим на ней выколотые точки 3 и 5.
x ϵ (3;5)
В статьях на канале можно встретить другие виды выражений, уравнений, неравенств и их систем, где все найденные значения переменных проверяются областью допустимых значений (ОДЗ). В примерах экзаменационных работ, при обосновании решения и ответов, можно встретить вместо ОДЗ слово "Ограничение" такое оформление будет верным.
Часто бывает, что при решении забывают про ОДЗ, в таком случае необходимо выполнить проверку подстановкой всех найденных значений переменных в исходное задание.
Используемая литература:
1. Математика: Новый полный справочник школьника для подготовки е ЕГЭ / А.Г. Мордкович, В.И. Глизбург, Н.Ю. Лаврентьева.
2. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы / О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев
Спасибо за просмотр, ставьте лайк и подписывайтесь на канал.
На нашем канале можно найти другие статьи по теории
Теория. Линейное уравнение с одним неизвестным
Теория. Квадратное уравнение