Признак делимости на 3 очень прост: если сумма цифр числа делится на 3, то само число — тоже. Что тут добавить?
А вот что.
1) Перед суммированием можно сразу отбросить все цифры, делящиеся на три: 3, 6, 9. Они на делимость результата не повлияют, потому что в модулярной арифметике по модулю 3 равны нулю.
Пример: 32069 → 32069 → 2
2) Также можно отбросить все сочетания цифр из таблицы умножения на три: 12, 15, 18, 21, 24 и 27.
Пример: 249715 →7
3) Поскольку от перестановки мест слагаемых сумма не меняется, порядок цифр можно менять как угодно и как удобно, "собирая" из цифр двузначные числа заведомо, делящиеся, на три и выбрасывая их. Например, если где-то в числе есть цифры 7 и 2, не обязательно подряд, то их обе можно вычеркнуть, где бы они ни находились, потому что из них можно сложить число 27.
Пример: 752 →5
4) Если после всего этого выкидывания остались какие-то невнятные четвëрки, пятëрки, семëрки и восьмëрки, переводим их в остатки от деления на три: 4 и 7 меняем на 1, а 5 и 8 меняем на −1. После этого вычисления становятся совсем тривиальными!
Пример: 47875 → 1+1-1+1-1 -> 1
5) Можно с самого начала все цифры перевести в модулярную арифметику по модулю 3, заменив цифры 3, 6 и 9 на 0, цифры 1, 4, 7 на 1, а цифры 2, 5 и 8 на −1. А потом на пальцах посчитать число выживших после сокращения единичек.
Наконец, стоит упомянуть, почему этот способ проверки, вообще, работает.
Дело в том, что основание нашей системы счисления 10 при делении на 3 имеет замечательный остаток: 1. Все степени 10 имеют тот же остаток, поскольку единица в любой степени равна единице. Таким образом, позиционное представление десятичного числа …d₃d₂d₁d₀
... + 1000×d₃ + 100×d₂ + 10×d₁ + d₀
в модулярной арифметике по модулю 3 превратится просто в
... + d₃ + d₂ + d₁ + d₀ (mod 3),
то есть, в сумму цифр.
Тот же верно и для систем счисления с любым основанием, которое имеет форму 3n+1, для натурального n, то есть 4, 7, 10, 13, 16 и т. д.
Остаётся самый глубокий вопрос: зачем нам знать, делится ли число на три?
Я, например, когда еду в такси и попадаю в пробку, быстро проверяю на делимость номера проезжающих мимо машин. Успокаивает :)
