Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Все мы знаем Франсуа Виета как автора замечательных формул, связывающих корни квадратного уравнения, невероятного тригонометрического способа решения кубических уравнений, создателя современной алгебраической символики, который придумал неизвестные переменные обозначать буквами...(продолжайте список дальше)
Однако, Виет еще и является автором первой в европейской истории формулы, использующей бесконечное произведение. Занимаясь поисками формулы для наиболее эффективного вычисления числа π, Виет исследовал отношение площадей вписанных в окружность многоугольников с 2^n и 2^(n+1) сторонами (впрочем, как и многие математики до него, начиная со времен Древней Греции):
Однако мне, более всего понравился чисто алгебраический вывод, основанный на применении формулы двойного угла:
Применяя её несколько раз, мы заметим закономерность:
От n, таким образом, зависит только первые два множителя. Попробуем перейти к пределу:
Здесь использован тот факт, что синус малого аргумента приблизительно равен самому аргументу (это переформулировка первого замечательного предела):
Получим такую формулу, подставляя вместо φ угол π/2:
Формула уже само по себе интересная, но мы её преобразуем. Заметим, что по формуле половинного аргумента:
Теперь, получаем итоговую формулу в том виде, в котором её получил геометрически Франсуа Виет:
Добавляет красок тот факт, что Виет выполнил свою работу задолго до того, как в математике были разработаны понятия пределов и строгие доказательства сходимости;
Первое доказательство того, что этот предел вообще существует, было дано только в работе в 1891 году!
С помощью своей формулы Виет вычислил первые девять знаков числа π, что для 1593 года уже не было наилучшим результатом.
Не удивительно, ведь с точки зрения теории вычислений формула обладает всего лишь линейной скоростью сходимости.
В формуле Виета количество множителей и правильных значащих цифр пропорциональны друг другу: произведение первых n членов в пределе дает выражение для π с точностью примерно до 0,6 n цифр.
В математике благодаря этой формуле даже появилось целое семейство "Viete-like formulas". Например:
- Спасибо за внимание!
