(Табличный способ задания ВАХ нелинейным сопротивлениям)
Дугинов Л.А. L.duginov@mail.ru
Ключевые слова: алгоритм расчёта, итерационный метод, сложные электрические цепи на постоянном токе, туннельный диод, вольт-амперная характеристика (ВАХ), программа Mathcad, пример расчёта.
Введение
В данной статье на базе программы Mathcad рассматривается простой метод расчёта сложных электрических цепей на постоянном токе с нелинейными сопротивлениями. Рассматривается только табличный способ задания сопротивлениям сложных вольт-амперных характеристик (ВАХ), которые очень трудно представить в аналитическом виде.
Исходные данные для расчёта
На рис.1-2 показаны электрическая схема с нелинейными сопротивлениями R1и R2, а также ВАХ этих сопротивлений заданные в табличном виде. Такие характеристики имеют туннельные диоды и являются образцом сложных нелинейных сопротивлений для проведения расчёта электрических схем по старым методикам.
Рис.2 ВАХ нелинейных сопротивлений R1 и R2 (R1-красный цвет,
R2-зелёный)
В таблице 1 показан способ ввода ВАХ нелинейных сопротивлений R1 и R2 в программе Mathcad.
Новый подход к понятию «статическое сопротивление».
ВАХ любого линейного сопротивления это прямая линия, проходящая через начало координат под некоторым углом (α1). Возьмём частный случай, когда угол α1= α, тогда эта прямая пройдёт через точку А (см.рис.3). то Rлин также определялось бы по формуле:
Rлин = Ua / Ia = tg (α) (1)
Если на рис.3 построить ещё ВАХ нелинейного сопротивления, которая прошла бы через точку А, то Rстат также определялось бы по формуле:
Rстат = Ua / Ia = tg (α) (2)
То есть величины линейного и нелинейных сопротивлений резисторов полностью совпадают, да и сами формулы (1) и (2) носят явно линейную зависимость сопротивлений R от напряжения Ua и тока Ia.
Значит, можно трактовать понятие «статическое сопротивление» не только как чисто математическую величину сопротивления Rст или как тангенс угла (α), определяемых по формуле (1), а как образование (в точке А) реального линейного сопротивления Rлин, что нам представляется более важным даже с чисто прикладных интересов - расчёта сложных электрических цепей на постоянном токе с нелинейными сопротивлениями. Конечно, может показаться, что между двумя сопротивлениями Rст и Rлин есть принципиальная разница, заключающаяся в том, что сопротивление Rлин не зависит от величины напряжения Ua в отличии от статического сопротивления Rст. Да правильно, но это не носит принципиального характера. Важно, что в любой момент времени и при любом значении величины напряжения Ua зависимость сопротивлений Rстат от напряжения Ua и тока Ia останется линейной как показано в формуле (2).
Как будет показано ниже на примере расчёта нелинейной электрической цепи (рис.1), данная трактовка понятия «статического сопротивления» Rст как реального линейного сопротивления Rлин позволяет в процессе итерационного расчёта, пользуясь ВАХ нелинейных сопротивлений R1 и R2, определять величины этих сопротивлений уже как линейных. Таким образом, для каждой итерации можно составить систему линейных уравнений, позволяющую на данный момент рассчитать все неизвестные величины.
Расчёт начальных величин нелинейных резисторов R1 и R2
Для начала итерационного расчёта необходимо, используя ВАХ, задаться начальными токами I1 и I2, что бы определить величину сопротивлений R1 и R2. Затем, определив по ВАХ величины напряжения U1=f(I1) и U2=f(I2), проводится расчёт двух линейных сопротивлений по формулам:
R1лин =U1 / I1 и R2лин =U2 / I2. (3)
Прежние методы рекомендовали задавать величины тока I1 и I2 так, чтобы как можно ближе подойти к расчётным значениям сопротивлений R1 и R2. Иначе не было гарантии получить вместо ответа расходящийся итерационный процесс. В тоже время, как показывает практика расчётов электрических цепей с нелинейными сопротивлениями ( не только простых, но и сложных схем), предлагаемая методика расчёта не требует как можно ближе задавать величины токов I1 и I2 к расчётным значениям. Более того, начальные значения токов I1 и I2 (в пределах ВАХ) могут быть любыми значениями. Например, для данного числового примера ток I1=3А, I2=14 А (см. рис.2). Как варианты, допустимо взять ток I1=I2=1А или I1=I2=14А. При этом, количество итераций изменится на 1-2 (см. таблицу 2).
Ниже показано, как выполняется расчёт сопротивлений R1и R2 по программе Mathcad. Так как ВАХ нелинейных сопротивлений R1 и R2 задаётся не непрерывно, а дискретными точками и есть необходимость определять промежуточные точки на этой характеристике, то в программе Mathcad промежуточные точки для напряжений U1 и U2 определяются с помощью двух встроенных функций:
Ниже приводится полный текст программы итерационного расчёта по методу контурных токов электрической схемы, показанной на рис.2
с необходимыми комментариями в процессе вычислений
по программе Mathcad.
В таблице 2 приведён расчёт величины тока Ii по итерациям через сопротивления Ro, R1-R5
Таблица 2
*- Примечание: значения тока Ii в числителе ----- при Iх1=Ix2 =1 А
. значения тока Ii в знаменателе --- при Iх1=IX2 =10 А
Выводы
1. В качестве начального приближения программа Mathcad позволяет величину начального тока выбрать произвольно (в пределах ВАХ) для любого нелинейного сопротивления электрической цепи.
2. Величину начального тока допускается выбрать одинаковой для всех (без исключения) нелинейных сопротивлений электрической цепи.
3. Как показывает опыт расчётов сложных электрических цепей, надёжный и быстрый итерационный процесс обеспечивается, только если в основу алгоритма пересчёта линейных сопротивлений берётся формула (3), где величины напряжения U=f(I)) определяются по ВАХ нелинейных сопротивлений.
4. Данная методика расчёта, разработанная для сложных электрических цепей, может быть использована при расчёте сложных магнитных цепей (постоянного тока) и даже гидравлических схем после соответствующей доработки этого метода.
Список литературы
1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. М., «Энергия», 1975.
2. Дьяконов В.П. Mathcad 8-12 для студентов. Серия «Библиотека студента» - М.: СОЛОН-Пресс,2005
3. Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., ТПА,-2020. -№2 (107).-50c.
