Новый метод расчёта сопротивлений трения (для гидравлических схем произвольной сложности)

Новый метод расчёта сопротивлений трения

(для гидравлических схем произвольной сложности)

Дугинов Л.А. Lduginov@mail.ru

Ключевые слова: сложные гидравлические цепи, линейные сопротивления, сопротивления трения, итерационная формула, программа Mathcad.

Введение

В данной статье предлагаются новые способы расчёта сопротивлений трения полученные на базе трёх известных формул для расчёта коэффициента трения λtr: Блазиуса, Филоненко и Кольбрука. С помощью описанной ниже методики эти три формулы используются для получения новой зависимости DHst=Ast·Q^nst взамен известной DHst=Atrk·Q^2. где: DHst– падение напора на сопротивлении трения или на местном сопротивлении, Ast – «новый» вид сопротивления трения постоянного по величине ( не зависящего от величины коэффициента трения λtr, условно названный «степенным»), Atrk – «старый, квадратичный» вид сопротивления трения, которое как известно сильно зависит от величины коэффициента трения. Для успешного использования «степенных» сопротивлений Ast в расчётной практике гидравлических схем произвольной сложности используется методика расчёта (л.1), опубликованная ещё в 1975 году в журнале «Электротехника» №12. Данная методика начала применяться для расчёта сложных систем вентиляции мощных турбогенераторов и двигателей с 1972 года в ЦКБ Минэнерго СССР, а начиная с 1986 года в НИИ заводов «Электросила» в Ленинграде и соответственно в Новосибирске. Последние публикации её были в 1991 г. (л.2) и в 2020 г. (л.3).

Вывод итерационной формулы для гидравлических расчётов по новой методике

Итерационная формула выводится из системы 2-х уравнений:

где : DHst – падение давления на элементарном участке ветви, AL – линейное сопротивление элементарного участка , Ast– «степенное» сопротивления трения постоянного по величине, Q – расход среды через элементарный участок, nst –степень при расходе Q, зависит от режима течения среды, для гидравлических расчётов n лежит в диапазоне от 1 до 2.
Для решения системы уравнений из формул (1) и (2), необходимо определить расход Q из уравнения (2) и вставить эту формулу в (1),
в результате получаем выражение для расчёта линейного
сопротивления AL:

Для гидравлических расчётов, в которых кроме сопротивлений трения имеются ещё и местные сопротивления, где показатель степени n=2, формула (3) упрощается:

где: DHk- падение напора на местном сопротивлении, Ao – величина местного сопротивления участка (не трения), рассчитывается по известной формуле:

Формулы расчёта сопротивления трения Ast
и падения напора DHst
(на примере формулы Блазиуса).

Известные формулы для расчёта сопротивления трения Atrk и падения напора DHk на участке.

где: λtr-коэффициент трения, зависит величины от числа Re λtr=f(Re), Ltr - длина канала, Ro- плотность среды, Dvn- внутренний диаметр канала, Ftr- площадь сечения канала.
Расчёт коэффициента трения λtrпо формуле Блазиуса:

Новые формулы для расчёта сопротивления трения Ast и падения напора DHst на участке:

Ast - степенное сопротивление трения, зависит только от геометрии канала, плотности и вязкости среды, т.е. постоянно по величине на весь процесс расчёта. Коэффициенты Kst и nst - постоянны для данного типа сопротивления трения, определяются из формулы Блазиуса (8).
Ниже приводится методика вывода формул для расчёта коэффициентов Kst и nst, а также. степенного сопротивления Ast.

Вывод формул для расчёта коэффициентов Kst и nst

Используя формулу (8) для 2-х значений числа Re Re1=5000 и Re2=50000 напишем систему из 2-х уравнений (здесь соответственно: λtr1=0,0374 и λtr2=0,021 ):

Kst= λtr1·Re1^nst откуда: λtr2·Re2^nst = λtr1·Re1^nst
Kst= λtr2·Re2^nstt или: (Re2/ Re1)^nst = λtr1/ λtr2

после логарифмирования получим: nst·Log (Re2/ Re1) = Log (λtr1/ λtr2) тогда окончательно получим:

Аналогично рассчитываются коэффициенты nst и Kst для формул Филоненко и Кольбрука.

Вывод формулы для расчёта степенного сопротивления Ast

В формулу (8)для расчёта λtr подставим формулу (13) для расчёта числа Re:

В результате получим новое выражение формулы (8) для расчёта коэффициента трения:

Подставим (14) в формулу (7), получаем новую формулу для расчёта падения давления DHk от трения воздуха в канале :

или после соответствующих сокращений получаем:

Для формулы Блазиуса коэффициенты Kst=0,3164 и nst=0,25.

Аналогично рассчитываются степенные сопротивления Ast для формул Филоненко и Кольбрука.

Таблица расчётных параметров сопротивления трения
( сопротивление трения по Блазиусу - Atrk и степенное -Ast):

Трубка: Dvn=0,010 м Ltr=25 м νo=14·10-6 м2/с Ro=1,25 кг/м3

Как видно из таблицы максимальная погрешность перевода формулы Блазиуса в степенной вид не превышает 1%.

Формулы расчёта сопротивления трения Ast и
падения напора DHst
(на примере формулы Филоненко).

Известные формулы для расчёта сопротивления трения Atrk и падения напора DHk на участке:

Где коэффициент трения λtr рассчитывался по формуле Филоненко:

Новые формулы для расчёта сопротивления трения Ast и падения напора DHst на участке:

Таблица расчётных параметров сопротивления трения
( сопротивление трения по Филоненко - Atrk и степенное -Ast):

Трубка: Dvn=0,010 м Ltr=25 м νo=14·10-6 м2/с Ro=1,25 кг/м3

Как видно из таблицы максимальная погрешность перевода формулы Филоненко в степенной вид не превышает 2,5%.

Формулы расчёта сопротивления трения Ast и
падения напора DHst
(на примере формулы Кольбрука-Уайта)

Известные формулы формулы для расчёта сопротивления трения Atrk и падения напора DHk на участке.

Где коэффициент трения λtr рассчитывался по формуле Кольбрука-Уайта:

Новые формулы для расчёта сопротивления трения Ast и падения напора DHst на участке:

Таблица расчётных параметров сопротивления трения (сопротивление трения по Кольбруку-Уайту - Atrk и степенное -Ast):

Как видно из таблицы максимальная погрешность перевода формулы Кольбрука-Уайта в степенной вид не превышает 3%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аврух В.Ю., Дугинов Л.А., Карпушина И.Г., Шифрин В.Л. «Математическое моделирование на ЭВМ вентиляционных систем турбогенераторов» - «Электротехника», 1975, №12.
2. Аврух В.Ю., Дугинов Л.А. Теплогидравлические процессы в турбо- и гидрогенераторах -М.: «Энергоатомиздат»,1991, стр. 50-55
3. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. Москва, «Машиностроение» 1992.
4. Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., ТПА,-2020. -№2 (107).-50c.

Пример гидравлического расчёта схемы со степенными сопротивлениями трения.