Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Недавно на моём канале я рассказывал про причуды основной теоремы арифметики в особых алгебраических конструкциях - кольцах, но как-то упустил из виду, что про них я не рассказывал, в отличие от их прямых предков - группах и полугруппах.
Поэтому хочу исправиться! Дело в том, что кольцо можно определить, взяв от вышеуказанных структур нужные свойства:
- Замкнутость по сложению и умножению.
- Наличие противоположного и единичного элемента по сложению.
- Двустороннюю дистрибутивность: (a+b)*c = ac + bc
В самом общем случае этого достаточно, чтобы определить понятие кольца:
В общем случае нам не требуются свойства коммутативности или ассоциативности по умножению: просто существуют некоммутативные и неассоциативные кольца
Давайте рассмотрим конкретные примеры.
Кольцо целых чисел
Эти числа:
а) Замкнуты по сложению (кроме того есть "0" - единичный элемент по сложению).
б) Замкнуты по умножению.
в) Для каждого числа существует противоположное по сложению.
г) Среди них дополнительно существует единичный элемент по умножению - "1".
Такое кольцо называется коммутативным кольцом с единицей. В этом случае кольцо получается с помощью синтеза абелевой группы по сложению и коммутативного моноида.
Кольцо (подкольцо) четных чисел
Здесь, очевидно, не существует единичного элемента по умножению, поэтому - это просто коммутативное кольцо, созданное из группы по сложению и полугруппы по умножению.
Кольцо вычетов по модулю
Элементы таких колец устроены подобно цифрам на стрелочных часах, но отсчет ведет с 0.
В таком кольце есть единичные элементы по умножению и сложению, но есть у него и еще одна особенность. Для чисел 2 и 3 существуют отличные от нуля числа, которые при умножении дают 0.
- Говорят, что в таком кольце есть делители нуля, а оно не является областью целостности.
Натуральные числа
В этом мире:
- во-первых, не существует нулевого элемента по сложению;
- во-вторых, не существует противоположного элемента по сложению.
Всё это немного намекает, что натуральные числа, сами по себе, не являются кольцом.
Они представляют из себя всего лишь полугруппу по сложению и умножению. В то же время, если добавить "0" к множеству натуральных чисел, можно говорить о полукольце (в нем нет требования существования противоположного элемента по сложению)
Рациональные, вещественные, комплексные числа
Эти множества, естественно, образуют абелевы (коммутативные) группы по сложению и являются коммутативными моноидами, в совокупности представляя собой кольца, которые являются областями целостности. К тому же эти кольца являются частью чего-то большего, о чем уважаемые Читатели естественно догадываются. Впрочем, это уже совсем другая история.
- Спасибо за внимание!