Два последних заданий ЕГЭ часто самые сложные. Давайте посмотрим, что нам может здесь помочь. Итак, наша задача:
Первое, что бросается в глаза - это повторение параметра k в левой и правой части. Абсолютно необходимо преобразовать уравнение, чтобы или выделить параметр, или яснее увидеть, как он связан с переменной t. Плюс похоже, что величина 2ksint после преобразования исчезнет и уравнение станет попроще.
Еще один момент. Мы можем либо записать эквивалентную систему, либо обозначить область допустимых значений t (то самое ОДЗ). В данном случае я предпочту второе. Не обязательно сразу "решать ОДЗ", достаточно обозначить само условие. Оно определяется тем, что знаменатель не должен обращаться в ноль. Вот оно:
Итак, преобразуем уравнение. Зная, что знаменатель не равен нулю, можем умножить обе части на (cost - sint) и упростим:
Действительно, 2ksint ушло из уравнения. И параметр k "выделился", то есть теперь он в единственном месте, правда, связан с косинусом. Что делать дальше? Идеи - либо как-то решать систему, представив левую и правую части в виде функций (и даже привлечь графический метод), либо ввести замену переменной, либо как-то еще преобразовывать тригонометрическое уравнение, чтобы прийти к одной функции (например, синусу). Какие еще есть предложения?
Давайте попробуем сделать замену переменной. Этот шаг кажется слегка сомнительным, поскольку переменных получится две. Но мы же решаем уравнение с параметром, где заданы определенные ограничения. Они, вероятно, помогут нам разобраться и найти решение. Еще одним аргументом в пользу этого метода является то, что уж очень получившееся уравнение похоже на вот это: у=kx+b, правда?
Итак, пусть синус будет "игреком", а косинус - "иксом". Но тогда нам нужно будет также учесть, что обе этих величины по модулю не превосходят 1. Более того, у нас же есть интервал (по переменной t), на котором мы ищем решения - от "нуля" до "пи-пополам". И какие-такие там эти наши синусы-косинусы?
Правильно! Исключительно положительные! А это сильно все упрощает:
Получается, что нам нужно найти некие решения для прямой, записанной через уравнение линейной функции, при этом эти решения будут лежать в первой четверти координатной плоскости (ну, там, где и "икс" и "игрек" положительные).
Помощью нам будет еще одно условие - основное тригонометрическое тождество. Поскольку сумма квадрата синуса и косинус равна единице, то, значит, и сумма квадратов "икса" и "игрека" равна единице.
Итак, получается, что решениями этой системы будут пересечения прямой с окружностью, лежащие в первом квадранте координатной плоскости!
Всё?
Нет! Нужно будет исключить те пересечения, где y=x (вспоминаем ОДЗ). А коэффициент k как раз задает наклон прямой, поэтому мы сможем определить, при каких k система будет иметь решение, а при каких - нет.
Итак, семейство "зеленых" прямых на следующем рисунке как раз в одной точке пересекает окружность, то есть подходит под решение задачи. Так как уравнение прямой у=kx-1/2, то все эти прямые пересекают ось ОУ в точке (0,-0.5).
Точка на окружности, где "икс" равен "игреку" - это точка, которая образует с осями квадрат с диагональю 1 (радиус окружности равен 1). Соответственно для нее "икс" равен "игреку" и равен "корень из двух разделить на два".
Запрещенные прямые здесь - это красные (пересекающая ось х в точке 1, пересекающая запретную точку на окружности, где х=у) и сама ось ОУ. Все прямые, лежащие между ними, имеют одно пересечение с окружностью в первом квадранте, то есть задающие одно решение искомого уравнения.
Найдем коэффициенты наклона "запретных" прямых. Коэффициенты прямых между ними и будут искомыми значениями параметра k.
Получаем, что решения уравнения (иными словами значения параметра k) будут определяться следующим образом:
Всё! Задание решено.
Нам не нужно здесь возвращаться обратно к t, проверять синусы и косинусы, так как в решении с заменой переменной было все учтено.
Позже приведу еще одно решение без замены переменной и без графических построений. И, кстати, не такое уж и сложное. :)
- Напишите, пожалуйста, насколько все понятно? Какие остались вопросы?
На этом все. До встречи в новых статьях!