Чтобы привлечь внимание, нужна хорошая история. Борьба, любовь и трагическая развязка. Жизнь Эвариста Галуа воплощение романов Дюма. Революция, возлюбленная, смерть на дуэли и тайное послание.
Вот только его содержание математическое. Ни заговоров, ни интриг. Галуа решил задачу, над которой бились лучшие математики. Все знают, что уравнение второй степени разрешимо на множестве вещественных чисел, если дискриминант не отрицательный. Это критерий разрешимости уравнения. А как быть с уравнением третьей, четвертой, пятой, n-ой степени. Галуа нашёл ответ на этот вопрос. И ввёл ряд новых понятий. В том числе понятие группы.
Группа это множество 𝔖, на котором задано правило, по которому двум элементам из множества, ставится в соответствие элемент из этого же множества: a, b ∊𝔖, то a ❃ b = c ∊𝔖. Для этого правила должны выполняться следующие свойства:
1° Ассоциативность. Для любых трех элементов выполняется равенство: (a ❃ b) ❃ c = a ❃ (b ❃ c), a ∊ 𝔖, b ∊ 𝔖, c ∊ 𝔖.
2° Существование нейтрального элемента. В данном множестве есть нейтральный элемент 𝑒, такой что для любого другого элемента a ∊ 𝔖 выполняется равенство: 𝑒 ❃ a = a ❃ 𝑒 = a.
3° Существование обратного элемента. Для каждого элемента a ∊ 𝔖 найдется другой элемент b ∊ 𝔖 такой, что выполняется равенство: a ❃ b = b ❃ a = 𝑒.
Теперь доказав некоторое утверждение для группы, можно распространить его на все подходящие под определения множества. Подобно тому, как свойства параллелограмма распространяются на ромбы, прямоугольники и квадраты.
Примеры групп из школьного курса
Множество целых чисел и операция сложения
Складывая два целых числа, получается целое число. Сложение обладает свойством ассоциативности, а в качестве нейтрального элемента выступает ноль. Обратный элемент - число с противоположным знаком.
Данная группа также коммутативная или абелева, потому что выполняется равенство a + b = b + a.
Множество рациональных чисел без нуля и операция умножения
Также абелева группа, потому что для рациональных чисел выполняется свойство коммутативности. В качестве нейтрального элемента выступает число 1, а чтобы получить обратный, переворачиваем дробь.
Повороты правильного треугольника относительно центра
Здесь в качестве операции умножения выступает последовательное применение двух поворотов. То есть произведение поворота на 60° градусов с поворотом на 120° даёт поворот на 180°.
В качестве нейтрального элемента выступает поворот на любое число кратное 360°. Тогда в качестве обратного элемента будет такой поворот, который в произведении с данным даёт 360°. Или любое кратное число. Например, для поворота на 60° обратным будет поворот на 300°.
Вектора и операция сложения
Множество векторов и заданная операция сложения также является группой. Нейтральный элемент - нулевой вектор, обратный - вектор противоположный данному.