Квадратичная функция, график которой называют параболой. Загадочная кривая, с которой связано много всяких свойств и тайн, квадратное уравнение там же... Неисчерпаемый источник, из которого взято множество идей для того, чтобы придумать задачи, над которыми трудятся юные умы, готовясь применить свои знания на ЕГЭ.
В задаче ЕГЭ № 17 наиболее часто используемая функция - квадратичная, а найти надо, как всегда, параметр а.
Давайте рассмотрим задачу из ОБЗ ФИПИ, а потом будет предложено решить аналогичную задачу самостоятельно.
Найти все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции
Представим координатную плоскость, наименьшее значение заданной функции в заданной области, выделенной зелёным цветом, может находиться, к примеру, там где вершина параболы с координатами (1; 6) на рисунке №1.
Точное положение графика зависит от конкретных значений a. Если a такое, что весь график параболы находится не ниже уровня y=6, то минимальным значением функции является ордината вершины параболы, которая по условию может находиться выше и правее указанного положения или в области x≤-1.
Подумаем: нет ли на координатной плоскости ещё возможного положения графика, при котором выполнялось бы условие задачи? Итак, думаем, потом смотрим мои замечания ниже.
⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱
⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱
Оказывается, может быть и другое положение графика:
Если подумать, то ясно, что функция при таком положении должна быть чётной, а её минимальные значения, в соответствии с условием задачи, находятся в точках (-1; 6) и (1; 6). Вот только для какого значения a такое положение возможно? Ответ можно найти, исходя из свойств чётной функции:
f(-1) = f(1)
Подставляем x=-1 и x=1 в заданную формулу:
Нашли a = 0, при таком его значении вершина функции находится в точке (0; 2). Понятно, что по условию задачи последние координаты находить не требовалось, но для расширения кругозора посмотрим, что же получилось:
Теперь разберёмся, каким должно быть a для случая, когда вся парабола находится не ниже уровня y=6.
По свойствам квадратичной функции, абсцисса вершины параболы Xв равна отношению второго коэффициента к удвоенному первому коэффициенту в формуле трёхчлена, взятому со знаком минус, откуда следует:
Xв = a/2
Yв = f(Xв)=2a+2 (легко посчитать).
По условию, 6 ≤ Yв => 6 ≤ 2a+2 => 2 ≤ a
Ответ: a=0; 2 ≤ a
Конечно, приведённое выше решение является только одним из возможных. Я постарался быть максимально кратким. Ведь на экзамене: ВРЕМЯ-ВРЕМЯ!..
Кстати, положение графика на рисунке № 1 соответствует значению a = 2, что предлагаю проверить самостоятельно. Для тех, кто хочет знать больше, предлагаю построить заданный график для какого-нибудь значения 2<a или хотя бы определить координаты вершины.
Для усвоения изученного материала и в процессе подготовки к ЕГЭ предлагаю решить аналогичную задачу самостоятельно. Ответ можно указать в комментариях или прислать мне на почту, которую можно увидеть здесь. Я обязательно отвечу.
Найти все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции
Если вам понравилась статья, поставьте лайк и подпишитесь на канал, это поможет и другим пользователям получить полезную информацию, спасибо!