Эти задачи не объединены общей темой, я просто выбрал те олимпиадные задачи, в которых не требуется решать уравнения или брать интегралы. Решение будет в конце статьи.
Задача №1
Найдите наименьшее положительное целое число, все цифры которого являются единицами и которое делится на 3333333.
Задача №2
Страна Математики имеет форму правильного многоугольника с N вершинами. N аэропортов расположены в вершинах этого многоугольника, по одному аэропорту в каждой вершине. Авиакомпания Math Airlines решила построить внутри полигона еще K новых аэропортов. Однако компания придерживается следующей политики:
- она не позволяет трем аэропортам располагаться на одной прямой,
- любой новый аэропорт с любыми двумя старыми аэропортами должен образовывать равнобедренный треугольник.
Сколько аэропортов можно добавить к исходному N?
Ответы и решения
Решение задачи №1
Если число делится на 3333333, то оно делится и на 1111111, и на 3.
Пусть ответ будет m, поэтому m = 1111111*n, где число 3 является делителем числа n, n > 0 и n является целым числом.
Чтобы все цифры числа m были единицами, цифры числа n должны быть равны 1 или 0. Зададимся вопросом, каким должно быть число n, чтобы при сложении неполных произведений при перемножении 1111111 на n, чтобы в сумме получались только единицы. Мы должны поместить нули слева от младшего разряда в n. Теперь, чтобы сохранить все цифры как единицы, мы ставим 1 после крайнего левого нуля. Итак, последние восемь цифр n равны ...10000001. Выглядит неплохо, но сумма цифр должна делиться на 3, чтобы удовлетворять условиям задачи. Таким образом, у нас должна быть еще одна единица.
Применяя те же рассуждения снова, последние пятнадцать цифр числа n должны быть ....10000001. т. е. n = 100000010000001, и мы можем остановиться, т.к. это число делится на 3.
Таким образом n = 100000010000001 дает наименьшее значение m, равное 111111111111111111111 (21 единица).
Решение задачи №2
Пусть Х — случайная точка внутри многоугольника, тогда согласно пункту №2, AXB и DXC — равнобедренные треугольники.
Медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, одновременно является высотой, опущенной на основание, и биссектрисой угла, из которого она проведена. Центр правильного многоугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров. Значит единственное местоположение точки X — это центр многоугольника.
Если N — чётное, то точка Х будет принадлежать длинной диагонали многоугольника, проходящей через центр, что будет противоречить п. 1.
Ответ: если N — чётное, то новых аэропортов добавить нельзя, если N — нечётное, то можно добавить только один аэропорт (в центр многоугольника).
Какая из двух задач показалась вам более сложной?