Возможны ли в ОТО круговые орбиты? Да, в том случае, если эффективная сила (градиент потенциала) равна нулю, то есть центробежная сила компенсирует как Ньютоново притяжение, так и релятивистское. А мы уже обсуждали, что эффективный потенциал содержит три слагаемых: ньютонов потенциал, обратно пропорциональный расстоянию r до центра гравитирующего тела; центробежный (псевдо)потенциал, обеспечивающий отталкивание за счет инерции (степень -2); и релятивистское притяжение, тоже пропорциональное моменту вращения (точнее, его квадрату), но степень у r уже -3.
При данном моменте вращения, массе тела и гравитационном радиусе тела есть два расстояния, на которых возможно движение по окружности. Просто раз потенциал содержит три слагаемых со степенями -1, -2 и -3, то его производная (сила) содержит слагаемые со степенями -2, -3 и -4, и приравнивание ее к нулю дает квадратное уравнение.
Причем знаки коэффициентов разные: у старшего и свободного плюс, а у оставшегося - минус. У такого уравнения может не быть вещественных корней, может быть один (два совпадающих) положительный или два разных положительных.
В Ньютоновом пределе один из радиусов нуль (а нуль не годится, мы же на r умножали уравнение), а второй какой-то, классический, определенный для заданных масс и скорости вращения (только в классике обычно скорость вращения по орбите, т.н. первую космическую, вычисляют по данному радиусу). В том случае, когда гравитационный радиус тела мал по сравнению с вращением (там есть параметр с размерностью длины, пропорциональный моменту вращения и позволяющий сравнивать), внешний радиус почти такой же, как у Ньютона, а внутренний в полтора раза больше гравитационного а.
Этот радиус, 1.5a, называется радиусом фотонной сферы. Внутри нее невозможны круговые орбиты. Кружить над горизонтом событий (радиус а) ниже фотонной сферы (1.5а) по инерции нельзя. Только постоянно ускоряясь.
Давайте подробнее. Нули производной, в нашем случае, это минимум и максимум потенциала. Для малого углового момента есть только максимум или вообще нет корней. Во втором случае нет круговой орбиты, это аналог скорости ниже первой космической. В первом круговая орбита есть, но неустойчивая: это чисто релятивистский случай, в классике аналогов не имеет. Минимум — устойчивая круговая орбита. При ее малом возмущении тело продолжит обращаться по близкой орбите, далеко не улетит.
На расстояниях дальше 3а устойчивые орбиты есть, при подходящем угловом моменте, и можно нормально вращаться по орбите, устойчиво, как возле любого небесного тела. Между фотонной сферой (1.5а) и сферой радиусом 3а круговые орбиты возможны, но неустойчивы. На фотонной сфере угловой момент, необходимый для круговой орбиты, стремится к бесконечности, а скорость — к скорости света. Поэтому внутри фотонной сферы, ближе к черной дыре, любая скорость слишком мала, чтобы кружить по орбите. При этом скорость ниже световой достаточна, чтобы радиально (или витками) улететь на бесконечность.
На орбите 3а скорость равна половине скорости света. На орбите 1.5а, как сказано, она равна скорости света. На орбите 2а скорость частицы на круговой орбите совпадает со второй космической, однако это "первая космическая", то есть скорость орбитального движения. Если ее направить хоть немного "наружу", частица сможет уйти на бесконечность.
Внутри фотонной сферы получается "дичь": круговые орбиты невозможны, так как даже скорости света мало, а вот выход наружу возможен, так как скорость убегания меньше скорости света. Объяснение в том, что, в отличие от Ньютона, в ОТО скорость ухода в бесконечность различная для разных направлений. Здесь есть аналогия с первой космической скоростью у Ньютона: она должна быть направлена по касательной к орбите. Вторая космическая у Ньютона одна и та же для всех направлений (главное, в планету не врезаться). А в ОТО обе скорости "с направлением".
Внутри фотонной сферы первой космической скорости вообще нет. А вторая космическая есть, но только если направление ее в сторону от черной дыры.
Как момент может стремиться к бесконечности — обсудим в следующий раз.