Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам о замечательном математическом неравенстве, которое принадлежит властелину математического анализа Огюстену Коши.
В 1821 году в учебнике было опубликовано доказательство следующего утверждения:
Называется оно "неравенством средних", т.к. связывает среднее арифметическое и среднее геометрическое набора натуральных чисел. ЗА долгие годы было опубликовано большое количество его доказательств, поэтому мы рассмотрим самое простое из них, конечно, основанное на методе математической индукции.
Для начала немного переформулируем выражение, чтобы избавиться от n-ной степени:
И сделаем замену, за счет чего полностью откажемся от произведений в формуле:
Условия под формулой чрезвычайно важны (для второго я даже показал конкретное объяснение).
Теперь пришел черед математической индукции. Для n=1 неравенство (1) тривиальным образом выполняется:
Теперь мы предположим, что формула (1) верна и докажем её справедливость при большем на 1 количестве слагаемых:
Сейчас начинается интересное: мы подберем y-представителя для каждого z-представителя, кроме последних двух:
Последний y будет произведением двух последних z, и сейчас Вы поймете, почему сделана такая искусственная замена.
Разберемся с природой чисел z. Оказывается, среди них мы всегда можем выбрать два таких числа, что одно из них больше, а другое - меньше единицы (за исключением случае равенства единице всех чисел):
Почему так? Давайте на конкретном примере:
Тут мы применили одно из условий на неравенство (1), а затем перенумеровали z. Возвращаясь к доказательству, мы должны решить неравенство:
А вот здесь "искусственность" замены развенчивается. Мы специально сделали это, ослабив неравенство! Подставляем значения и видим выражение:
Таким образом, индукционный переход завершен, неравенство доказано! Кстати, это неравенство - часть кое-чего большего! Ведь есть и другие средние.
Среднее гармоническое меньше, чем среднее геометрическое, которое меньше, чем среднее арифметическое, которое меньше, чем среднее квадратическое!
- Будьте здравы! Спасибо за внимание!