В праиндоевропейском языке восстанавливается прилагательное *gʷih₃wós (что значило "живой"). Как это читалось - мы точно не знаем. Может быть, [г(у)и(х)вос], где [у] это просто призвук к [г], а [х] - придыхание перед [в]. А может, [жуивос], а может, ещё как-то.
У славян отсюда получились слова "живот", "жить", "живой", "жизнь".
Похожее сделалось и в санскрите - जीवित [jīvitá].
У италийцев получилось слово *gʷītā, из которого сохранился звук [в], который у славян как раз выпал. А [г] - выпал у италийцев. И получилась латинская "vīta".
А греки заменили [gʷ] на β, и получили, например, слово "βίοτος" (тоже "жизнь"). Ну и отсюда все слова с кусочком "био-".
На этом греки не остановились. Они вспомнили, что [г/з] это тоже отличное чередование, и получили слово "зоо-", которое тоже связано с жизнью. И из которого родилось имя Зоя.
А вот "life" не отсюда. Оно происходит от прагерманского *lībą ("жизнь, тело"), от глагола *leiban ("оставаться, сохраняться"). Видимо, значение эволюцинировало как "пребывание/сохранение в теле". Праиндоевропейский корень тут *leyp, тот же самый, откуда русские слова "лепить", "липнуть", "лепота", "лепый" (последнее - "хорошо слепленный").
