Великий математик - любитель Ферма еще в 17 веке оставил без доказательства замечание относительно простых чисел: все простые числа кроме числа 2 представимы в виде 4к + 1 и 4к - 1, где к - целое число, причем простые числа первого рода являются суммой двух квадратов, а простые числа второго рода никогда таковыми быть не могут.
Если мы распределим все натуральные числа по классам в зависимости от того, какой остаток при делении натурального числа на 4 получим, то образуются четыре класса: класс натуральных чисел, которые без остатка делятся на 4, класс натуральных чисел, которые дают в остатке 1, класс натуральных чисел, которые дают в остатке 2 и, наконец, класс натуральных чисел, которые дают в остатке 3. Очевидно, все простые числа окажутся в двух классах во втором и четвертом. Во втором классе окажутся все простые числа, которые являются суммами двух квадратов, а в четвертом классе окажутся все простые числа, которые никогда суммой двух квадратов не будут.
Теорема 1. Все простые числа вида 4к + 1 представимы в виде суммы двух квадратов.
Первое простое число вида 4к + 1 получается при к = 1, т.е. n1 = 5 = 1 в квадрате + 2 в квадрате. Второе натуральное простое число вида 4к + 1 получается при к = 3, т.е. n2 = 13 = 2 в квадрате + 3 в квадрате. Предположим, что только к таких простых чисел представляются в виде суммы двух квадратов, а любое простое nк + 1 > nк в виде суммы двух квадратов не представляется. Тогда по аксиоме спуска nк также в виде суммы двух квадратов не представляется, что противоречит индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает утверждение.
Теорема 2. Все простые числа вида 4n - 1 никогда в виде суммы двух квадратов не представимы.
Доказательство. Первое натуральное простое число вида 4n - 1 получается при n = 1, т.е. n1 = 3. Последовательные квадраты натуральных чисел будут 1, 4, 9, ... 3 суммой двух квадратов не является, так как 3 - 1 =2, 3 - 4 = -1 квадратом натурального числа не являются. Второе натуральное простое число вида 4n - 1 получится при n = 2, т.е. n2 = 7. 7 суммой двух квадратов не является, так как разности 7 - 1 = 6, 7 - 4 = 3, 7 - 9 = -2 квадратами натуральных чисел не являются. Предположим, что к-ое натуральное простое число nк вида 4n - 1 суммой двух квадратов не является, а к + 1 натуральное простое число nк + 1 является суммой двух квадратов. Тогда по аксиоме спуска nк также представляется в виде суммы двух квадратов, что противоречит индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.
