Египетский треугольник здесь не просто так, он нам поможет решить задачу. Итак, условие.
В прямоугольном треугольнике АВС угол В прямой. В треугольнике проведена высота BD и в треугольник BDC вписана окружность радиуса 8. Тангенс угла BAC равен 4/3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Решение. Тангенс угла ВАС=4/3, то есть ВС/АВ=4/3. Тогда пусть ВС=4х, а АВ=3х. Значит АС=5х ( Египетский треугольник, теорема Пифагора, 3 в квадрате плюс 4 в квадрате =5 в квадрате). Тангенс угла АСВ=АВ/ВС=3/4.
Рассмотрим треугольник ВDС, он прямоугольный, так как ВD высота. В этом треугольнике тангенс угла DСВ=ВD/DС=3/4. Тогда ВD=3у, DC=4у, а ВC=5у ( тоже египетский треугольник). ВС=4х=5у.
Воспользуемся формулой, связывающей радиус вписанной окружности r, катеты прямоугольного треугольника а,в и гипотенузу с. r=(a+в-с)/2. В треугольнике ВDС 8=(3у+4у-5у)/2. 8=2у/2. у=8. 5у=4х, то есть 4х=40, х=10. Тогда размеры треугольника АВС АВ=3х=30, ВС=40, АС=50. Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. R= (30+40-50)/2=10. Это ответ.
Когда решишь такую задачу, кажется, совсем простое решение. Это свойство красивых задач - простота. Но есть нюанс, эти задачи простые, когда знаешь, как их решать.
Эта задача вполне по силам девятиклассникам, но и учащимся 11 класса она будет интересна и полезна.
Если тема математики вам интересна, пожалуйста, подпишитесь на мой канал. Спасибо, что дочитали.