6 : 3(8 − 6) = ?

снова не по теме

Ответ к примеру в заголовке:
а) для арифметического примера это некорректная запись! Но если таки считать его арифметическим, который должен быть записан 6 : 3 ⋅ (8 − 6), то ответ 4;
б) знак умножения опущен, значит это алгебраический пример, ответ 1 (обоснование см. в конце статьи).

Наш оппонент учитель математики и блогер-миллионник Пётр Александрович Земсков, автор по крайней мере шести книг по математике.

Тяжело спорить с таким авторитетом, тем более на его поле. Но, тем не менее, критический анализ источников информации — моя сильная сторона, подкреплённая широким доступом к учебникам в сети и богатой домашней математической библиотекой, оставшейся от мамы, проработавшей 36 лет учителем математики в советской школе. Поэтому или Пётр Александрович, цитирующий Портоса: «Я дерусь, потому что дерусь!» и давящий исключительно авторитетом и голосом, или я дерусь не потому что рогами на ворота, а потому что могу критически мыслить, подкрепляя своё мнение цитатами и ссылками на источники.

В недавнем видео Земсков разбирал как правильно решать пример, написанный им на доске:

Дело в том, что аналогичные примеры уже несколько лет вирусно разлетаются по Интернету и люди, получившие «хорошее советское образование», виртуально бьют друг друга по голове и обвиняют в тупости или безграмотности, доказывая диаметрально противоположное.
Одни считают, что*:
6 : 3(8 − 6) = 6 : (3 ⋅ 2) = 1,
другие:
6 : 3(8 − 6) = 6 : 3 ⋅ 2 = 4.

* сократил дробь, которая на суть дискуссии не оказывает влияние, а сверстать с дробью Дзен не позволяет.

И я считаю, что оба ответа верные. Вот только ответ 4 верный для получивших хорошее советское образование в начальной школе и по уровню математического развития остановившихся на арифметике, а ответ 1 — для получивших хорошее советское образование в средней школе, т.е. усвоивших элементарную алгебру.

Не стал бы обсуждать решение Земскова, если бы он остановился только на этом числовом, возможно арифметическом, примере с утверждением, что между тройкой и скобкой стоит знак умножения (на самом деле при такой записи не стоит, а подразумевается) и надо следовать порядку действий слева направо.

Но далее он на примере алгебраических выражений (с буквенными обозначениями чисел) начал нести откровенную на мой взгляд чушь. Пример на скриншоте и цитата под ним:

Ты задаешь вопрос ребенку: «Вот этот одночлен [подчеркнут], ты на что делишь?» Он такой: «Ну, на ab». Так что надо ставить?! Надо ставить скобки.

Во всех линейках учебников математики, чтобы поделить один одночлен на другой, второй одночлен, чтобы показать, что мы делим на весь одночлен, берут в скобки. Иначе придется длить на a, потом получившееся умножать на b! Потому что это знак умножить между a и b! И всё. Понятно?

(П. А. Земсков https://youtu.be/3qn966l9bxk)

Тот случай, когда школьник грамматику математических выражений понимает лучше, чем популярный учитель с 1,03 млн подписчиков, такими наставлениями откладывающий личинки будущих ошибок в мозг ребенку и миллионам зрителей. Как характеризовала подобных коллег учителей мама, промолчу по этическим соображениям.

По Земскову:
a²b : (ab) = a,
a²b : ab = ab²,
хотя на самом деле обе записи равнозначны и дают ответ a:
a²b : ab = a²b : (ab) = a,
ответ ab² получается при такой записи:
a²b : a ⋅ b = ab².

Впрочем, я забежал вперед, во первы́х строках проведём анализ источников и посмотрим на «все линейки учебников математики», начиная аж с 1907 года.

Анализ источников

Исторические источники

Учебник по элементарной алгебре А. Н. Глаголева издания 1907 года.

Параграф, посвященный делению многочлена на одночлен.

Как видим, здесь однозначно понимается, что в записи вида (. . .) : 2ab² выражение после знака деления есть одночлен и многочлен в скобках делится не на 2, как утверждают некоторые, а на одночлен 2ab² в целом.

Далее, элементарная алгебра Киселёва издания 1917 года.

Хоть и сказано, что для избежания недоразумений в подобных случаях лучше ставить скобки, но также указано, что выражение a : bc принято понимать в смысле a : (bc) и далее сам Киселёв именно такую запись и использует:

Лично я в примере 3) делитель с отрицательным коэффициентом взял бы в скобки. Хотя и так вполне понятно.

«Элементы алгебры и анализа» того же автора издания 1928 года, параграф тот же.

В начале параграфа одночлены примера четко выделены скобками, а далее используется упрощённая запись без скобок и дан комментарий:

... ради краткости писания скобки в подобных обозначениях принято опускать.

Неужели такой взрослый дядька как Земсков за годы своей профессиональной деятельности не умудрился хотя бы полистать подобные классические труды?

Этот же параграф из переизданного в 2006 году издания 1938 года:

И здесь делитель одночлен без скобок. Но делители с отрицательным коэффициентом уже берутся в скобки.

Перейдем к другим авторам.

Курс элементарной алгебры Извольского, 1924 г.

Делитель одночлен и здесь без скобок. Но делители с отрицательным коэффициентом взяты в скобки.

Математика для техникумов 1934 года.

Здесь я решил показать и цитату из параграфа, посвящённого умножению одночленов, чтобы подчеркнуть, что записи вида: ab ⋅ cd и ab : cd в одинаковой мере означают и умножение, и деление двух одночленов. Хотя ab ⋅ cd есть одночлен и то же самое что abcd, но знак умножения в выражении показывает, что одночлен получен в результате умножения двух других одночленов.

Теперь послевоенное издание. Учебник алгебры А. Н. Барсукова 1966 г.

Подходы к математической грамматике всё те же.

От учебников перейдем к рекомендациям по методике преподавания.

Методика преподавания алгебры в восьмилетней школе издания 1967 г. за авторством В. В. Репьева.

Здесь четко сказано, что при делении на произведение скобки нужны, если в этом произведении использованы знаки умножения, если же знаки умножения опущены, то и скобки не требуются:

a : (b ⋅ c ⋅ d) = a : bcd

То же самое говорится в методике преподавания алгебры Ф. М. Шустеф, 1967 г.

Шустеф Ф. М. Методика преподавания алгебры. Минск : Вышэйш. школа, 1967. С. 43.

Тут, правда, наличествует забавный казус, после слов «знак умножения опускается» приведен пример такого вида: a : b ⋅ c = a : (b ⋅ c) — здесь очевидно произошла ошибка верстки, во время которой знак умножения забыли опустить, а пример должен иметь вид: a : bc = a : (b ⋅ c).

Современные учебники

Допустим, что издания 100- и 50-летней давности нынешним учителям не указ, поэтому заглянем в относительно современные учебники по математике.

Земсков в своём видео утверждает:

Во всех линейках учебников математики... второй одночлен... берут в скобки.

Не берусь утверждать, что нашел все линейки учебников, такая цель и не ставилась, но среди просмотренных мной только в одном обнаружено системное использование скобок, причем с выделением не только делителя, а обоих одночленов (Алгебра. 7 класс / Ш. А. Алимов и др. М. : Просвещение, 2011)

Выглядит это так:

По сравнению с красивой и лаконичной простотой записи в приведенных выше изданиях, здесь как будто набросали ненужный скобочный мусор, который увеличивает число знаков, но не упрощает чтение выражений.

По-видимому авторы учебника, отбросив опыт поколений предков, решили, что современные дети такие дебилы, что без скобок не смогут разобраться в простейшей записи. Нет, не дебилы, и ученик Земскова, даже несмотря на то, что его изначально неверно учат, интуитивно понимает и своими глазами правильно видит в формуле два одночлена слева и справа от знака деления. А добрый дядя математик бьет по рукам и учит его плохому!

Несмотря на такие примеры, есть современные учебники и с классической записью (Алгебра. 8 класс / Н. Я. Виленкин и др. — М. : Просвещение, 2010).

Во многих учебниках середины прошлого века и современных, например за авторством Ю. Н. Макарычева и др., параграфы про деление одночленов и многочленов не предусмотрены. Сложение, вычитание и умножение есть, а деления нет! Вероятно авторы исходят из того, что деление в полной мере заменяют разделы, посвященные изучению дробей с многочленами и одночленами, поэтому в этих учебниках используется только дробная запись через горизонтальную черту.

Выводы из анализа источников

Наука логика говорит, что для опровержения утверждения «Во всех А есть Б» достаточно доказать, что Б отсутствует хотя бы в одном из А.

Земсков утверждал, что во всех линейках учебников математики второй одночлен (т.е. делитель) берут в скобки. Как видим, есть по крайней мере один современный учебник, в котором одночлен делитель не берется в скобки. Таким образом, утверждение Земскова ложно.

Кроме того, среди просмотренных учебников только в одном делитель в скобках, причем, не только он, но и одночлен делимое. Поэтому, пока «во всех» это только в одном из найденных.

Вывод о ложности утверждений Земскова подкрепляется достаточным числом исторических источников, в которых запись вида a : bc используется в значении a : (b ⋅ c).

Заключение

В современных школьных учебниках алгебры отсутствуют (мной не найдены) пояснения об очередности действий в выражениях с переменными (или алгебраических выражениях). Выражения с переменными, в которых опускается знак умножения, вводятся явочным порядком, подразумевая, что порядок действий и так понятен. Этим пользуются деятели вроде Земскова, пропагандирующие методы решения алгебраических выражений, противоречащие давно сложившимся правилам и традиции.

В учебниках математики начальной школы между скобками, числами и скобками, числами и переменными знак умножения не опускается и проставляется всегда.

Исходя из выше сказанного, можно сделать следующие выводы.

Заключительные выводы

В арифметических выражениях записываются знаки всех действий, опускать знак умножения между числом и переменной, перед и между скобками не допускается. Одноранговые действия (умножение и деление; сложение и вычитание) выполняются в порядке их записи.

Примеры:
33 : 11 ⋅ (4 + 6) = 3 ⋅ 10 = 30 — сначала действия в скобках, а одноранговые действия выполняем слева направо;
36 : 3 ⋅ (8 − 6) = 36 : 3 ⋅ 2 = 24
(3 + 5) ⋅ (7 − 2) = 8 ⋅ 5 = 40
7 ⋅ y = ?, для y = 3: 7 ⋅ y = 7 ⋅ 3 = 21 — см. на обязательный для арифметических выражений знак умножения между 7 и y.

Примеры ошибочной записи для арифметических выражений:
(3 + 5)(7 − 2) — отсутствует знак умножения между выражениями в скобках
8b = 16 — отсутствует знак умножить между 8 и b.

Для алгебраической записи эти примеры станут верными.

В алгебраических выражениях между переменными и коэффициентами одночлена знак умножения опускается. В порядке действий одночлен имеет высший приоритет. В остальном приоритет действий соответствует арифметическим правилам.

Обращаю особое внимание на эту формулировку. Не просто знак умножения допускается опускать, а опускается знак умножения внутри одночлена. Это удобный способ без выделения скобками визуально показать все одночлены в выражении. Когда в выражении какая-то его часть записана без знаков, то это одночлен, а явно написанные знаки рядом с ним имеют меньший приоритет. Запись вида ab подразумевает умножение a на b, но так как при такой записи ab является одночленом, то при добавлении знака умножения, одночлен также следует взять в скобки или:

"ab" ≡ "(a ⋅ b)" — верно*;
"ab" ≡ "a ⋅ b" — неверно*.

Примечание: * здесь идет речь о тождественности форм записи, поэтому левые и правые части тождеств взяты в кавычки.

Например, решим пример деления одночлена на одночлен:

a²b² : ab = ab — ответ записан решением сходу, он очевиден. Запишем решение подробно с добавлением знаков умножения:
a²b² : ab = (a² ⋅ b²) : (a ⋅ b) = (a² : a) ⋅ (b² : b) = a ⋅ b = ab — решение с верной записью; для первого одночлена скобки можно было не ставить, для него работает обычный порядок действий;
a²b² : ab = a² ⋅ b² : a ⋅ b = (a² : a) ⋅ b² ⋅ b = ab³ — неверное решение из-за неверной записи «по Земскову».

Пример, как при умножении двух одночленов наглядно выглядит решение без скобок у переменных и с верным использованием знаков умножения:

1,5a³b²c²df ⋅ 3b³c²ad = (1,5 ⋅ 3) ⋅ a³a ⋅ b²b³ ⋅ c²c² ⋅ dd ⋅ f = 4,5b⁵a⁴c⁴d²f.

Здесь, благодаря алгебраической записи одночленов и использованию знака умножения, красиво и наглядно виден ход решения с группировкой однородных элементов без задействования скобок, кроме случая с числовыми коэффициентами. Скобки и тут можно было не использовать, но они подчеркивают группировку, отделяя произведение числовых коэффициентов от однорангового знака умножения справа.

Решение алгебраических выражений при подстановке известных значений переменных практически во всех источниках выглядит следующим образом.

Пример. Решить выражение 2a : a(b − a), если a = 5, b = 7.
Решение внесением множителя в скобки:
2a : a(b − a) = 2 ⋅ 5 : 5(7 − 5) = 10 : (5 ⋅ 2) = 1,
или иначе, сокращением множителей частного:
2a : a(b − a) = 2 ⋅ 5 / 5(7 − 5) = 2 / (7 − 5) = 1,

Обращаю внимание: после подстановки числовых значений между числом и скобкой знак умножения отсутствует так же, как он отсутствовал для переменной. Мы работаем с алгебраическим выражением и добавление знака умножения отделило бы число от скобки и порядок выполнения операций изменился бы!

Это тот случай, когда не содержащее буквенных переменных числовое выражение будет алгебраическим.

Вернемся к задаче на доске у Земскова, упрощенный вариант без дроби:

6 : 3(8 − 6) — после тройки отсутствует знак умножения, это алгебраическая запись, поэтому решение будет таким:

6 : 3(8 − 6) = 6 : (3 ⋅ 2) = 1.

Чтобы пример решался как арифметический, он должен быть записан:

6 : 3 ⋅ (8 − 6) = 6 : 3 ⋅ 2 = 4.

А вообще, перед решением подобных примеров следует определять контекст. Например, если указать, что это пример для начальной школы, то он должен решаться как арифметический и сразу следует понимать: как таковой он записан неверно и после тройки следует добавить знак умножения.

Автор: В. Чобиток

P.S. Какой фигнёй иногда приходится страдать, чтобы вернуть толику здравого смысла в этот мир...

Источники информации

1. Глаголевъ А. Н. Элементарная алгебра. Курсъ среднихъ учебныхъ заведеній. Ч. I. — М. : Типографія Т-ва И. Д. Сытина, 1907. — 519 с.
2. Киселевъ А. Элементарная алгебра. — 29-е изд. — М., С.-Пб. : Т-во В. В. Думнов, 1917. — 407 с.
3. Киселев А. Элементы алгебры и анализа. Ч. 1 : Элементы алгебры. — 6-е изд. — М., Л. : Госиздат, 1928. — 351 с.
4. Киселев А. Алгебра. Ч. 1. — М. : Физматлит, 1938/2006. — 151 с.
5. Извольский Н. Курс элементарной алгебры. Ч. 1. — Пб. : Брокгауз-Ефрон, 1924. — 186 с.
6. Математика для техникумов / Сост. В. Б. Гуревич, В. С. Кудинов и др.; под ред. П. А. Безсонова. — М., Л. : Гос. Технико-теоретическое изд., 1934. — 692 с.
7. Барсуков А. Н. Алгебра. Учебник для VI-VIII классов / Под ред. С. И. Новоселова. — 11-е изд. — М. : Просвещение, 1966. —
   296 с.
8. Репьев В. В. Методика преподавания алгебры в восьмилетней школе. Пособие для учителей. — М. : «Просвещение», 1967. — 276 с.
9. Шустеф Ф. М. Методика преподавания алгебры. — Минск : Вышэйш. школа, 1967. — 223 с.
10. Алгебра. 7 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — 18-е изд. — М. : Просвещение, 2011. — 224 с.
11. Алгебра. 8 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений и шк. с углубл. изучением математики / Н. Я. Виленкин, А. Н. Виленкин, Г. С. Сурвилло и др.; под ред. Н. Я. Виленкина. — 9-е изд., дораб. — М. : Просвещение, 2010. — 303 с.

См. также: