Заметка в стиле серии про Сильвера, но относится к серии "Принцип невероятности".
Однажды слепому Пью показалось, что он окружен солдатами короля, и он, прижавшись к стене, стал стрелять во все стороны, равновероятно выбирая угол от 90 градусов влево до 90 градусов вправо. В 20 ярдах от него был забор, очень длинный. В него и попадали пули. Нас интересует распределение пуль, попавших в доски забора. Сколько пуль, в среднем, попало в доску прямо напротив Пью? Сколько в доску в 10 ярдах от нее? А в 20 ярдах? Каково среднее этого распределения и какая дисперсия? Много вопросов.
Чтобы получить плотность распределения, нужно вычислить угол dφ, соответствующий отрезку забора от x до x+dx. За нуль примем доску точно напротив Пью.
Угол φ получим из условия tgφ=x/20. Угол φ+dφ --- из аналогичного условия tg(φ+dφ)=(x+dx)/20. Давайте примем 20 ярдов за новую единицу длины для простоты.
Тогда dφ = arctg(x+dx)-arctg(x).
Мы можем взять dx маленьким, и приблизить арктангенс через его производную; получим
dφ = dx/(1+x^2).
Вероятность, что пуля попадет в выбранный участок забора, равна вероятности, что Пью выберет угол между φ и φ+dφ; но распределение уголов равновероятно на отрезке длины π, поэтому вероятность диапазона dφ равна dφ/π.
Стало быть, вероятность попасть в интервал между x и x+dx равна dx/π(1+x^2).
Иными словами, плотность распределения имеет вид f(x) = 1/п(1+x^2).
Функция распределения, или вероятность, что значение не больше х, есть 0.5+arctg(x)/π.
Это распределение Коши. На рисунке его график. Чем же оно примечательно?
Тем, что оно предельно плохое.
Плохое оно потому, что у него даже математическое ожидание если и есть, то с натяжкой. Да, из соображений симметрии среднее нуль: пуль левее и правее будет в среднем поровну --- точнее, отношение числа пуль слева к общему числу пуль будет стремиться к 0.5 --- но медленно...
А дисперсии нет, она бесконечная. Если уж интеграл для матожидания расходится...
Соответственно, вероятности отклонения от среднего будут велики. Например, вероятность получить число больше 5 превышает 0.06, а больше 10 --- превышает 0.03.
Для сравнения, немного похожее внешне нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией значения больше трех принимает с вероятностью чуть больше 0.001! А уж о пяти и речи нет.
Если кто-то примет этот "колокольчик", который получается по данным, за гауссиану... последствия могут быть ужасными. Оценки вероятности тех или иных событий, сделанные на основе нормальности, никуда не годятся. Сами можете представить, чем это может кончиться на финансовых рынках, например.
Вероятность попасть в узкую доску, шириной, например, 0.1 ярда, или 0.005 в наших новых единицах, равна с хорошей точностью 0.005/п(1+x^2), где х --- положение доски в заборе. Прямо напротив Пью это 0.005/п~0.0016. А в 10 ярдах влево (или вправо) --- 0.0012. А в 20 ярдах --- 0.0008.
Вероятность же, что Пью будет попадать в пределах от 20 ярдов влево до 20 ярдов вправо составляет 0.5 ровно!
Как показывает нам пример слепого Пью, распределение Коши --- не выдумка, оно запросто может появиться в самых житейских ситуациях. Например, при стрельбе из пистолета вслепую. Будьте осторожны.