Давайте попробуем без формул проследить, как из общей теории относительности получается ньютоновский потенциал, следствием которого является закон обратных квадратов.
Читайте дальше, если хотите получить представление, но предупреждаю: формул почти нет, так что понять все равно не получится. Я предупредил.
Итак, геометрия четырехмерного пространства-времени задается метрическим тензором. В удобных координатах в плоском пространстве это диагональная матрица, а на диагонали стоят -1, 1, 1, 1. Это означает, что квадрат интервала — он аналог расстояния — записывается как
dL^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2, c=1.
В криволинейных координатах (а других в искривленном пространстве и нет) в этой формуле есть еще слагаемые, вида dtdx, dydz и т.п. с разными коэффициентами; а коэффициенты перед квадратами могут отличаться от единицы.
Первое упрощение будет такое: в искривленном некоторой массой пространстве-времени к этой матрице прибавлена другая, но ее элементы малы по сравнению с единицей, в следующем смысле. Мы учитываем эти добавки, но пренебрегаем их квадратами и произведениями, а также считаем их первые и вторые производные по координатам столь же малыми. Добавки обозначим буквой γ — с индексами, разумеется.
Второе упрощение: скорости малы по сравнению со скоростью света, в том же смысле: сами скорости мы учитываем, а квадратами и произведениями пренебрегаем (скорость света примем за единицу). При этом преобразования Лоренца вырождаются в галилеевы, в частности, время абсолютно.
Третье упрощение: в тензоре энергии-импульса отличается от нуля только компонента с индексами 00 — это плотность материи. Причем она стационарна во времени. Можно считать ее дельта-фунцией пространственных координат, то есть, материальной точкой. При этом надо рассматривать поле далеко от точки, чтобы не нарушалось первое предположение.
Общая схема такова: мы решаем уравнения Эйнштейна, определяя компоненты метрического тензора по компонентам тензора энергии-импульса, а потом решаем, зная метрику, уравнения геодезических, определяя траектории тел.
Давайте припомним смысл некоторых понятий. Непрерывная зависимость координат от некоторого параметра — кривая. Производные этих фукнций по параметру — касательный вектор. Интеграл длины этого вектора — длина кривой. Эту длину можно использовать в качестве параметра (натуральный параметр).
Вторые производные показывают, как меняется касательный вектор вдоль кривой и, следовательно, выражают кривизну кривой, ее уклонение от прямой.
Уравнения геодезических кривых выражают эти вторые производные от координат по натуральному параметру линейно через произведения первых производных координат по параметру:
Коэффициенты — это компоненты символа Кристоффеля Г. Их выражение через метрический тензор имеется — получено в римановой геометрии. Они зависят от производных "добавок" по координатам.
Собственно, формула довольно прозрачна: коэффициенты эти выражают уклонение метрики от плоской, постоянной.
Можно заменить натуральный параметр p на другой параметр; выберем в этом качестве время (оно в принятых приближениях абсолютно), и тогда уравнение геодезической выражает ускорение тела через скорости и метрику — производные "добавок" по координатам. Если добавки равны нулю или постоянны, то ускорение равно нулю, это движение по прямой с постоянной скоростью. При этом одно из уравнений — для λ=0 — вырождается при сделанных предположениях в 0=0, что и логично, так как время у нас параметр и его производная по времени равна единице.
Теперь нам надо разобраться с правой частью этого уравнения, чтобы определить "силу", которая порождает это ускорение.
Что приятно: уже ясно, что ускорение тела от его массы не зависит: эта масса нигде не фигурирует. Фигурирует только плотность, которая гравитацию-кривизну породила.
Что неприятно: почему-то ускорение формально зависит от скорости. Но это сейчас исправим...
Итак, в правой части стоят первые производные "добавок" и компоненты скорости.
Теперь берем уравнение Эйнштейна.
Свертка тензора с тензором — это как матричное умножение: сумма по повторяющемуся индексу произведений соответствующих элементов. Так, скалярная кривизна получается, если мы перемножим тензоры поэлементно и все элементы сложим. Если повторяется только один индекс у тензоров второго ранга, получится в точности матричное умножение. Можно тензор и в одиночку сворачивать: просто взять сумму по повторяющемуся индексу. Например, так получен тензор Риччи ранга 2 из тензора кривизна ранга 4. Для тезора ранга 2 свертка дает сумму диагональных элементов.
Сворачивая обе части с метрическим тензором, мы можем выразить скалярную кривизну через "энергию" T (свернутый тензор энергии-импульса) и подставить в уравнение:
Тензор энергии-импульса у нас есть, у него только одна ненулевая компонента, с индексами 00. Скалярная энергия Т выражается через нее.
Левая часть уравнения Эйнштейна — тензор Риччи — в указанных упрощениях выражается через метрику как сумма вторых производных от "добавки" по пространственным координатам. Производная по времени равна нулю, потому что поле у нас стационарное. Формулы для компонент тензора Риччи и скалярной кривизны (они стоят слева в уравнении Эйнштейна) тоже получены в римановой геометрии.
Тензор Риччи — это коэффициенты при членах второго порядка в разложении бесконечно малого объема; поэтому понятно, что там вторые производные.
Равенство некоторых компонент тензора (с индексами 01, 02 и 03) нулю позволяет определить коэффициенты при скорости в правой части выражения для ускорения: и они равны нулю. Так что ускорение от скоростей не зависит.
Компоненты ускорения по каждой координате, в итоге, пропорциональны производной по этой координате одной только компоненты "добавки" — с индексом 00.
Говоря проще, ускорение как вектор равно градиенту "добавки" с индексом 00. Так что эта добавка, с индексом 00, и есть потенциал.
Это добавку, с индексом 00, мы определяем из единственной ненулевой компоненты тензора энергии-импульса. Компонента тензора слева в уравнении Эйнштейна выражается как сумма вторых производных "добавки" с индексами 00 — это оператор Лапласа ∆ от нее. Смешанные производные равны нулю в пределах выбранного приближения. Получается, что оператор Лапласа "добавки" пропорционален плотности.
∆γ_{00}= kδ
Это уравнение называется уравнением Пуассона, и если в его правой части дельта-функция, то его решение — это C/r, где r — расстояние до нуля, а C — константа. Это и есть потенциал Ньютона.
Константа K подбирается так, чтобы константа С была какая надо.
Мы получили, что ускорение равно градиенту ньютоновского потенциала.
Если плотность как-то распределена в пространстве, то надо решать уравнение Пуассона, и это делается — получается опять же потенциал Ньютона.
Подробнее см. в учебниках. Например, в книге Рашевского.
Чтоб два раза не вставать. При других упрощениях, меньших, когда масса сосредоточена в цилиндре (шар в трехмерном пространстве) и метрика симметрична в пространстве и стационарна во времени, мы приходим к уравнению для траектории тела в полярных координатах. Оно содержит "лишнее" маленькое слагаемое. Если это слагаемое положить равным нулю, получится коническое сечение (эллипс, если скорость не слишком велика) для массивных тел или прямая — для света. Как у Ньютона.
Однако оно не равно нулю, и вместо эллипса получается незамкнутая кривая. Отличия от эллипса весьма малы: эллипс как бы поворачивается. Расчет хорошо согласуется с орбитами Меркурия и других планет Солнечной системы. Для света получается кривая траектория: вот и искривление света.
Как-то так.
