Симедиана — чевиана, симметричная медиане относительно биссектрисы (все отрезки проведены из одной вершины).
См. рисунок: BM — медиана, BL — биссектриса, BS — симедиана.
Итак, вроде бы понятно, почему симедиана так называется, она же симметрична медиане. Однако ... есть такая секущая (пересекает AB и BC), которую симедиана делит пополам, т.е. становится медианой (см. статью об этой секущей). Становится интереснее!
Основное свойство симедианы
Докажите, что AS : SC = (AB : BC)².
Таким образом, нам известно отношение площадей двух треугольников, на которые разбивается △ABC медианой, биссектрисой и симедианой!
Указания к доказательству
Пусть AB = a, BM = m, BS = s, BC = b, тогда:
1) AS : MC = (a∙s) : (b∙m). Почему?
2) AM : SC = (a∙m) : (b∙s). Почему?
3) AM = MC. Почему?
4) AS : SC = (AS : MС) ∙ (MC : SC) = (AS : MC) ∙ (AM : SC) = a² : b² .
Рекомендуется далее прочитать:
Когда симедиана — медиана, а медиана — симедиана?,
Когда симедиана — высота, а высота — симедиана?