Всем привет!
Сегодня разбираем первую из двух геометрических задач всероссийской олимпиады по математике 10-го класса прошлого года. Она была на олимпиаде под номером 4, но на мой взгляд была простовата. Все-таки задача под номером 4 должна содержать какую-то изюминку, неожиданность. А тут она в целом содержала довольно стандартную картинку...
Напомню, что освежить условия геометрических задач прошлогодней олимпиады можно тут. Следить за публикациями можно на телеграм-канале Олимпиадная геометрия. Кроме того, теперь можно следить за ними и в сообществе вконтакте.
Итак, вспомним условие.
Всякий, кто хоть раз видел лемму о велосипедистах и решал на не задачи, сразу узнает эту картинку. Вконтакте больше всего членов паблика проголосовало именно за эту тему и она станет предметом одного из ближайших разборов в воскресной статье... Пока же давайте разберемся с этой задачей.
Итак, у нас есть две окружности, проходящие через точку C и две секущие, проходящие через точку C. В терминах задачи о велосипедистах точки A и A₁ соответствуют одному положению, а точки B и B₁ соответствуют второму положению. Но если вы даже этого не знаете, попросту из счета углов треугольники PA₁A и PB₁B подобны или даже точнее поворотно-гомотетичны. При этом поворот происходит на угол γ= ∠C треугольника ABC. (То же самое можно выразить, сославшись на то, что точка P — точка Микеля четырехугольника AA₁B₁B.)
Далее легко заметить, что на отрезках AA₁ и BB₁ построены идентичные конструкции — подобные симметричные четырехугольники AQA₁S и BSB₁R. Их подобие следует из подобия треугольников ASA₁ и BSB₁. Значит указанные четырехугольники переходят друг в друга при той же самой поворотной гомотетии, что и отрезки AA₁ и BB₁.
В итоге заключаем, что ∠QPS=∠SPR=γ и значит ∠QPR=2γ. Поскольку очевидно ∠QCR=2∠ACB=2γ, получаем требуемую вписанность.
