Условие:
Страховая компания продает полисы ОСАГО и КАСКО. Время до поступления очередного требования по полису ОСАГО имеет показательное распределение со средним 2 дня, а по КАСКО - показательное распределение со средним 3 дня. Предполагая, что эти времена независимы, найти вероятность, что следующее страховое требование придет ранее, чем через два дня. Найти среднее время ожидания страхового требования.
Данная задача взята из открытого источника http://old.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tests/k2tv-ef19.pdf . ЭФ НГУ, экономика, вторая потоковая контрольная работа по теории вероятностей 2019 г.
Решение:
Для начала восстановим исходные распределения случайных величин.
Под словами "среднее время" подразумевается математическое ожидание.
Разобравшись с исходными распределениями распишем первый вопрос задачи: "найти вероятность, что следующее страховое требование придет ранее, чем через два дня".
Неизвестно какое из требований придет раньше и будет ли оно единственно, главное, чтобы было хотя бы одно.
А значит искомую вероятность можно записать следующим образом:
Из того что минимум меньше 2 нельзя ничего сказать больше (то ли первая случайная величина меньше 2, то ли вторая, то ли обе сразу). Перейдем к обратному событию:
А вот отсюда уже можно сказать кое-что конкретное: если минимум из двух случайных величин был больше какого-то числа, то и все остальные были тоже больше. Запишем это:
По условию случайные величины независимы, а значит, можно представить данную вероятность (одновременно двум случайным величинам быть больше (или равными) 2) в виде произведения вероятностей.
В данном случае в качестве борелевских множеств B1 и B2 выступают числовые промежутки от 2 до бесконечности.
Приведем вероятности к виду P(a<x), чтобы перейти к функциям распределения.
Последнее равенство опирается на определение функции распределения:
Отдельно распишем каждый множитель.
Получаем:
Осталось подставить x=2 и получить ответ:
Чтобы найти среднее время ожидания страхового требования, можно заметить, что полученная функция распределения является функцией распределения показательного распределения с параметром 5/6.
А значит математическое ожидание равно 1/(5/6) = 6/5 = 1.2
Читайте также другие статьи посвященные данной тематике. https://zen.yandex.ru/id/5e57a99a23af6e788c224cd8