Рассмотри сегодня достаточно непростой, но очень важный вопрос. Как работает принцип математической индукции.
Начнем с простого и всем известного факта. Последовательность натуральных чисел 1,2,3,4..... является бесконечной. То есть досчитали мы с вами до какого - то числа n, пусть даже очень большого, и всегда сможем найти ближайшее к нему, просто прибавив единицу - n+1.
Взяли n=1000 000 000 000. Прибавили 1. Получили n+1= 1 000 000 000 001. И так можно продолжать до бесконечности. Простой, замечательный и важный факт.
Точно так же математическая индукция устанавливает истинность утверждения в бесконечной последовательности случаев без каких-либо исключений. То есть принцип математической индукции основан на свойстве бесконечности натурального ряда чисел. Только переложен на утверждения, требующие доказательства.
Конечно нужна какая то база под индукцию. Простой пример из геометрии. Рассмотри утверждение А1 = "Сумма углов треугольника равна 180 градусов". Доказывается элементарно. Утверждение А2 = "Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов". Доказательство в одну строчку: любой выпуклый четырехугольник разбивается на два треугольника, сумма углов двух треугольников, 180+180=360 градусов. Утверждение А3 = "Сумма углов выпуклого пятиугольника равна 540 градусов".
Точно также, пятиугольник диагональю разделим на треугольник и четырехугольник. 180+360=540 градусов. Вот такие частные теоремы, или утверждения, или формулы и являются базой для применения математической индукции. В принципе достаточно первого верного утверждения.
А если обобщить на все выпуклые многоугольники. Тогда получится теорема: "сумма углов в выпуклом многоугольнике с n+2 сторонами равна 180*n.
n=1, n+2=3 (треугольник). Сумма углов = 180*n=180*1=180.
n=2, n+2=4 (четырехугольник). Сумма углов = 180*n=180*2=360.
Теперь мы предполагаем, не доказывая, что это утверждение верно при каком-то n. И если мы докажем, что оно верно при n+1, значит оно верно для всех n.
Итак, подведем итог.
1. Есть верное утверждение А1.
2. Предполагаем, что Аn - верное.
3. Доказываем, что An+1 - верное. Тогда для всех n утверждение истинное.
Нужно строго соблюдать эти три требования, иначе доказательство приведет к софизму. Метод математической индукции очень мощно работает для разных последовательностей, прогрессий, нахождения сумм, доказательства неравенств.
Я старался, но если остались вопросы, пишите в комментариях.
